Номер 2, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) Постройте график функции $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

д) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Для построения графика функции $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ преобразуем ее выражение, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$

Это график функции $y=\frac{2}{x}$ (гипербола), смещенный на 1 единицу вправо по оси Оx и на 1 единицу вверх по оси Оy.

Асимптоты графика: вертикальная асимптота — прямая $x=1$ (значение, при котором знаменатель обращается в ноль); горизонтальная асимптота — прямая $y=1$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).

Найдем несколько точек для построения: при $x=0$, $f(0) = -1$ (точка (0, -1)); при $x=-1$, $f(-1) = 0$ (точка (-1, 0) — пересечение с осью Ox); при $x=2$, $f(2) = 3$ (точка (2, 3)); при $x=3$, $f(3) = 2$ (точка (3, 2)).

График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=1$ и $y=1$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не должен быть равен нулю.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Следовательно, область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Из преобразованного вида функции $f(x) = 1 + \frac{2}{x-1}$ видно, что дробь $\frac{2}{x-1}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $f(x)$ может принимать любые значения, кроме $1$.

Следовательно, множество значений: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; множество значений $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

Пользуясь графиком, рассмотрим поведение функции вблизи вертикальной асимптоты $x=1$.

Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1-0$), значения $x$ меньше 1 (например, 0.9, 0.99). График функции уходит вниз, стремясь к минус бесконечности.

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$.

Когда $x$ стремится к 1 справа ($x \to 1+0$), значения $x$ больше 1 (например, 1.1, 1.01). График функции уходит вверх, стремясь к плюс бесконечности.

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Точка $x=2$ является точкой непрерывности функции. На графике это обычная точка на одной из ветвей гиперболы. При приближении к $x=2$ как слева, так и справа, график стремится к одной и той же точке, значение функции в которой равно $f(2)$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3$.

Следовательно, левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = 3$.

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны, то существует и двусторонний предел, который также равен 3.

$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$.

Ответ: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция является элементарной (дробно-рациональной) и непрерывна на всей своей области определения.

Из пункта а) мы знаем, что область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Следовательно, промежутки непрерывности: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Точка, не входящая в область определения, является точкой разрыва. Это точка $x=1$.

Так как в пункте б) мы установили, что односторонние пределы в точке $x=1$ равны бесконечности ($\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$), то это разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=1$ (разрыв второго рода).

д) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для определения пределов на бесконечности воспользуемся горизонтальной асимптотой $y=1$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), ветвь графика слева приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ снизу.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$.

Когда $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), ветвь графика справа приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ сверху.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Это также можно показать аналитически: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = 1$.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.