Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1) Дан график функции $y(x)$ (рис.3). По графику определите:

а) значение функции при заданном значении аргумента: $x=2$, $x=-4$;

б) значение аргумента при заданном значении функции: $y=8$, $y=-8$;

в) решите неравенство: $y(x) \ge 0$, $y(x) \le 3$.

Рис. 3

а) значение функции при заданном значении аргумента: $x=2$, $x=-4$

Для того чтобы определить значение функции $y$ по известному значению аргумента $x$, необходимо найти на графике точку с заданной абсциссой $x$ и определить ее ординату $y$.

1. Найдем значение функции при $x=2$. Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку $x=2$. Проводим от нее вертикальную линию до пересечения с графиком функции. Точка пересечения имеет координаты $(2, -2)$. Таким образом, при $x=2$ значение функции $y=-2$.

2. Найдем значение функции при $x=-4$. Находим на оси абсцисс точку $x=-4$. Видим, что график проходит прямо через эту точку. Координаты этой точки $(-4, 0)$. Таким образом, при $x=-4$ значение функции $y=0$.

Ответ: при $x=2$ значение функции $y=-2$; при $x=-4$ значение функции $y=0$.

б) значение аргумента при заданном значении функции: $y=3$, $y=-3$

Для того чтобы определить значение аргумента $x$ по известному значению функции $y$, необходимо найти на графике точку с заданной ординатой $y$ и определить ее абсциссу $x$.

1. Найдем значение аргумента при $y=3$. Проводим горизонтальную прямую $y=3$. Эта прямая касается графика в его наивысшей точке (вершине). Абсцисса этой точки равна $-3$. Таким образом, при $y=3$ значение аргумента $x=-3$.

2. Найдем значение аргумента при $y=-3$. Проводим горизонтальную прямую $y=-3$. В видимой части графика нет точек с такой ординатой. Однако можно заметить, что левая часть графика представляет собой прямую. Найдем ее уравнение по двум точкам, через которые она проходит: $(-4, 0)$ и $(-3, 3)$. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{-3 - (-4)} = \frac{3}{1} = 3$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставив одну из точек, например $(-4, 0)$, получим: $0 = 3 \cdot (-4) + b$, откуда $b=12$. Итак, уравнение левой части графика $y = 3x + 12$. Теперь найдем $x$, при котором $y=-3$:
$-3 = 3x + 12$
$3x = -3 - 12$
$3x = -15$
$x = -5$
Таким образом, при $y=-3$ значение аргумента $x=-5$.

Ответ: при $y=3$ значение аргумента $x=-3$; при $y=-3$ значение аргумента $x=-5$.

в) решите неравенство: $y(x)\ge0$, $y(x)\le3$

1. Решим неравенство $y(x) \ge 0$. Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси $x$ или выше нее. Сначала найдем точки пересечения графика с осью $x$ (нули функции). Из графика видно, что это точки $x=-4$ и $x=0$. Есть еще одна точка пересечения. Она лежит на отрезке прямой, проходящей через точки $(2, -2)$ и $(4, 2)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-2)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$. Уравнение прямой: $y - y_1 = k(x - x_1) \Rightarrow y - (-2) = 2(x - 2) \Rightarrow y+2=2x-4 \Rightarrow y=2x-6$. Найдем нуль функции: $0=2x-6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$.
Итак, нули функции: $x=-4, x=0, x=3$.
График находится на оси $x$ или выше нее на промежутке от $-4$ до $0$ включительно, а также для всех $x$ от $3$ включительно и далее.
Решение неравенства: $x \in [-4, 0] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим неравенство $y(x) \le 3$. Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на прямой $y=3$ или ниже нее. Из графика видно, что максимальное значение функции равно 3 (в точке $x=-3$). Все остальные точки графика лежат ниже линии $y=3$. Следовательно, неравенство $y(x) \le 3$ выполняется для всех значений $x$ из области определения функции. Предполагая, что функция определена для всех действительных чисел, решение будет $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $y(x) \ge 0$ при $x \in [-4, 0] \cup [3, +\infty)$; $y(x) \le 3$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. (2) Приведите примеры функций, заданных таблично, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни.

Функция, заданная таблично, — это способ представления зависимости, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента) из одной строки или столбца таблицы ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции) из другой строки или столбца. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с такими функциями.

1. Расписание уроков
Школьное расписание является примером таблично заданной функции. Здесь независимой переменной (аргументом), которую можно обозначить как $x$, является порядковый номер урока или время его начала. Зависимой переменной (значением функции), $y$, является название предмета, который проходит в это время. Каждому номеру урока в определенный день соответствует строго один предмет.
Пример таблицы для понедельника:
1-й урок (8:30) — Математика
2-й урок (9:25) — Физика
3-й урок (10:20) — Русский язык
Таким образом, расписание задает функцию $y = f(x)$.
Ответ: Расписание уроков, где аргументом является номер урока, а значением функции — название предмета.

2. Прогноз погоды
Прогноз погоды на день часто представляют в виде таблицы, где указана ожидаемая температура в разное время суток. В этом случае время является независимой переменной (аргументом) $t$, а температура воздуха — зависимой переменной (значением функции) $T$. Каждому моменту времени в таблице соответствует одно конкретное значение прогнозируемой температуры.
Пример таблицы:
Время, $t$ / Температура, $T$
09:00 / +15°C
12:00 / +18°C
15:00 / +20°C
18:00 / +17°C
Эта таблица задает функцию $T = f(t)$.
Ответ: Таблица прогноза погоды, устанавливающая зависимость температуры от времени суток.

3. Таблица пищевой ценности продуктов
На упаковке многих пищевых продуктов можно найти таблицу, в которой указано содержание белков, жиров и углеводов на 100 грамм продукта. В этой функции аргументом $x$ является наименование компонента (белки, жиры, углеводы, калорийность), а значением функции $y$ — его количество.
Пример таблицы для творога (на 100 г):
Компонент, $x$ / Количество, $y$
Белки / 16 г
Жиры / 5 г
Углеводы / 3 г
Это функция $y = f(x)$, представленная в виде таблицы.
Ответ: Таблица пищевой ценности на упаковках продуктов, которая показывает зависимость количества вещества от его типа (белки, жиры, углеводы).

4. Тарифы на мобильную связь
Операторы сотовой связи предлагают тарифные планы в виде таблиц, где стоимость услуг зависит от их объема. Например, стоимость месячного тарифа является функцией от количества включенных в него гигабайт интернета.
Здесь аргументом $x$ будет объем интернет-трафика (ГБ), а значением функции $y$ — стоимость тарифа (руб.).
Пример таблицы:
Трафик, $x$ / Стоимость, $y$
10 ГБ / 400 руб.
20 ГБ / 500 руб.
30 ГБ / 600 руб.
Эта зависимость $y = f(x)$ также является функцией, заданной таблично.
Ответ: Таблица тарифов на мобильную связь, где стоимость пакета услуг зависит от объема включенного трафика.

3. 1 Задайте какую-нибудь функцию в словесной форме.

(1)

Задать функцию в словесной форме — значит описать словами правило, по которому для каждого значения независимой переменной (аргумента) можно найти соответствующее единственное значение зависимой переменной (функции). Это один из полноценных способов задания функциональной зависимости.

Приведем пример функции, заданной в словесной форме:

Каждому действительному числу ставится в соответствие его квадрат.

Это описание полностью и однозначно определяет функцию. Разберем его подробнее:

1. Независимая переменная (аргумент). Это «каждое действительное число». Обозначим его буквой $x$. Аргумент может принимать любые значения из множества действительных чисел, например, $5$, $-3$, $0$, $1.5$.

2. Правило. Это «ставится в соответствие его квадрат». Это означает, что для нахождения значения функции нужно взять значение аргумента и возвести его во вторую степень.

3. Зависимая переменная (значение функции). Это результат, который получается после применения правила к аргументу. Обозначим его буквой $y$.

Например, следуя этому словесному правилу:

– если аргумент $x = 5$, то значение функции $y = 5^2 = 25$.

– если аргумент $x = -3$, то значение функции $y = (-3)^2 = 9$.

– если аргумент $x = 0$, то значение функции $y = 0^2 = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ мы можем однозначно найти соответствующее ему значение $y$. Данное словесное описание соответствует функции, которая в аналитической форме записывается с помощью формулы $y = x^2$.

Ответ: Каждому действительному числу ставится в соответствие его квадрат.

4. (2) Придумайте какую-нибудь аналитически заданную числовую функцию, содержащую не менее четырех арифметических действий, задайте ее в словесной форме, соблюдая правила русского языка.

Для выполнения этого задания необходимо сначала придумать числовую функцию, которая будет задана аналитически, то есть в виде формулы, и будет содержать не менее четырех арифметических действий. Выберем, к примеру, следующую функцию, где значение $y$ зависит от аргумента $x$:

$y(x) = \frac{(x^2 + 3) \cdot (x - 1)}{5}$

Далее убедимся, что данная функция удовлетворяет условию о количестве арифметических действий. Подсчитаем их в нашей формуле:

1. Возведение в квадрат ($x^2$), что является умножением ($x \cdot x$).
2. Сложение (к результату $x^2$ прибавляется $3$).
3. Вычитание (из $x$ вычитается $1$).
4. Умножение (результат сложения умножается на результат вычитания).
5. Деление (полученное произведение делится на $5$).
Таким образом, функция содержит пять арифметических действий, что соответствует условию задачи.

Теперь, согласно требованию, зададим эту функцию в словесной форме, соблюдая правила и нормы русского языка. Словесное описание должно точно и однозначно передавать математическую формулу.

Словесное описание для функции $y(x) = \frac{(x^2 + 3) \cdot (x - 1)}{5}$:

Значение функции для заданного аргумента $x$ вычисляется как частное от деления на пять произведения двух выражений. Первое выражение является суммой квадрата аргумента и числа три, а второе — разностью этого же аргумента и единицы.

Ответ:
Аналитически заданная функция: $y(x) = \frac{(x^2 + 3) \cdot (x - 1)}{5}$.
Её словесная форма: значение функции для заданного аргумента $x$ равно частному от деления на пять произведения двух сомножителей, где первый сомножитель есть сумма квадрата аргумента и числа три, а второй сомножитель — разность аргумента и единицы.

5. (3) Придумайте или приведите пример соответствия между элементами каких-либо двух множеств, которое не является функцией.

Функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие ровно один элемент другого множества (области значений). Если это правило нарушается, то соответствие функцией не является.

Нарушение может быть двух видов:

1. Какому-то элементу из первого множества не соответствует ни один элемент из второго.

2. Какому-то элементу из первого множества соответствует более одного элемента из второго.

Приведем пример соответствия, которое не является функцией из-за нарушения второго пункта.

Рассмотрим два множества: $X = \{4, 9, 25\}$ и $Y = \{-5, -3, -2, 2, 3, 5\}$.

Установим между ними соответствие по следующему правилу: элементу $x \in X$ соответствует элемент $y \in Y$, если $y$ является квадратным корнем из $x$ (то есть, выполняется равенство $y^2 = x$).

Применяя это правило, мы получим следующие пары:

- Для элемента $4 \in X$ соответствуют два элемента из $Y$: $2$ и $-2$, так как $2^2 = 4$ и $(-2)^2 = 4$.

- Для элемента $9 \in X$ соответствуют два элемента из $Y$: $3$ и $-3$, так как $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$.

- Для элемента $25 \in X$ соответствуют два элемента из $Y$: $5$ и $-5$, так как $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$.

Данное соответствие не является функцией, потому что каждому элементу из множества $X$ ставится в соответствие более одного элемента из множества $Y$. Это прямое нарушение определения функции, которое требует однозначности соответствия.

Ответ: Пример соответствия, которое не является функцией: пусть даны множество учеников $X = \{$Иван, Петр$\}$ и множество видов спорта, которыми они занимаются $Y = \{$Футбол, Баскетбол, Хоккей$\}$. Если Иван занимается футболом, а Петр занимается и баскетболом, и хоккеем, то такое соответствие не является функцией, так как элементу «Петр» из множества $X$ соответствует два элемента из множества $Y$. Другой пример: соответствие между множествами чисел $A=\{16\}$ и $B=\{-4, 4\}$, где элементу $a \in A$ сопоставляется его квадратный корень $b \in B$. Элементу $16$ будут соответствовать два числа, $4$ и $-4$, что нарушает определение функции.

2. (2) Постройте график функции $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

д) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Для построения графика функции $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ преобразуем ее выражение, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$

Это график функции $y=\frac{2}{x}$ (гипербола), смещенный на 1 единицу вправо по оси Оx и на 1 единицу вверх по оси Оy.

Асимптоты графика: вертикальная асимптота — прямая $x=1$ (значение, при котором знаменатель обращается в ноль); горизонтальная асимптота — прямая $y=1$ (значение, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$).

Найдем несколько точек для построения: при $x=0$, $f(0) = -1$ (точка (0, -1)); при $x=-1$, $f(-1) = 0$ (точка (-1, 0) — пересечение с осью Ox); при $x=2$, $f(2) = 3$ (точка (2, 3)); при $x=3$, $f(3) = 2$ (точка (3, 2)).

График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=1$ и $y=1$.

а) Найдите область определения функции и множество ее значений.

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не должен быть равен нулю.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Следовательно, область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Из преобразованного вида функции $f(x) = 1 + \frac{2}{x-1}$ видно, что дробь $\frac{2}{x-1}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $f(x)$ может принимать любые значения, кроме $1$.

Следовательно, множество значений: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; множество значений $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$.

Пользуясь графиком, рассмотрим поведение функции вблизи вертикальной асимптоты $x=1$.

Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1-0$), значения $x$ меньше 1 (например, 0.9, 0.99). График функции уходит вниз, стремясь к минус бесконечности.

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$.

Когда $x$ стремится к 1 справа ($x \to 1+0$), значения $x$ больше 1 (например, 1.1, 1.01). График функции уходит вверх, стремясь к плюс бесконечности.

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$.

в) Пользуясь графиком, определите $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Точка $x=2$ является точкой непрерывности функции. На графике это обычная точка на одной из ветвей гиперболы. При приближении к $x=2$ как слева, так и справа, график стремится к одной и той же точке, значение функции в которой равно $f(2)$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3$.

Следовательно, левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = 3$.

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны, то существует и двусторонний предел, который также равен 3.

$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$.

Ответ: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$.

г) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция является элементарной (дробно-рациональной) и непрерывна на всей своей области определения.

Из пункта а) мы знаем, что область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Следовательно, промежутки непрерывности: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Точка, не входящая в область определения, является точкой разрыва. Это точка $x=1$.

Так как в пункте б) мы установили, что односторонние пределы в точке $x=1$ равны бесконечности ($\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty$), то это разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=1$ (разрыв второго рода).

д) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Для определения пределов на бесконечности воспользуемся горизонтальной асимптотой $y=1$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), ветвь графика слева приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ снизу.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$.

Когда $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), ветвь графика справа приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ сверху.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Это также можно показать аналитически: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = 1$.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

3. (1) Определите $\lim_{x \to 1+0} \arcsin x$, $\lim_{x \to -1-0} \arcsin x$.

(1)
Для определения указанных односторонних пределов мы воспользуемся свойствами функции арксинус $y = \arcsin x$.

Функция $y = \arcsin x$ определена на отрезке $[-1, 1]$ и является непрерывной на всей этой области определения. Это означает, что для любой внутренней точки $c \in (-1, 1)$ предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to c} \arcsin x = \arcsin c$. На границах области определения, в точках $x=-1$ и $x=1$, функция также непрерывна: она непрерывна справа в точке $x=-1$ и непрерывна слева в точке $x=1$. Это свойство позволяет находить односторонние пределы в этих точках путем прямой подстановки.

Нахождение предела $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x$:
Запись $x \to -1+0$ означает, что $x$ стремится к $-1$ с правой стороны, то есть $x$ принимает значения, которые больше $-1$ (например, -0.9, -0.99, -0.999 и т.д.). Так как функция $\arcsin x$ непрерывна справа в точке $x = -1$, мы можем вычислить предел, подставив значение $x = -1$ в функцию:
$\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = \arcsin(-1)$.
По определению, $\arcsin(-1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.

Нахождение предела $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x$:
Запись $x \to 1-0$ означает, что $x$ стремится к $1$ с левой стороны, то есть $x$ принимает значения, которые меньше $1$ (например, 0.9, 0.99, 0.999 и т.д.). Так как функция $\arcsin x$ непрерывна слева в точке $x = 1$, мы можем вычислить предел, подставив значение $x = 1$ в функцию:
$\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \arcsin(1)$.
По определению, $\arcsin(1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = -\frac{\pi}{2}$; $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.

4. (2) Функция $y=\text{sgn }x$ (знак числа $x$) определяется следующим образом:

$\text{sgn }x = \begin{cases} 0, & \text{если } x = 0; \\ \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0. \end{cases}$

а) Постройте график функции. Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Определите $\lim_{x\to+\infty} (\text{sgn }x)$, $\lim_{x\to-\infty} (\text{sgn }x)$.

в) Определите $\lim_{x\to+0} (\text{sgn }x)$, $\lim_{x\to-0} (\text{sgn }x)$.

Функция $y = \text{sign } x$ (знак числа $x$) задана следующим образом: $ \text{sign } x = \begin{cases} 0, & \text{если } x=0 \\ \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \end{cases} $

Раскроем модуль в знаменателе для $x \neq 0$:
- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{x} = 1$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{-x} = -1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции: $ y = \text{sign } x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $

График этой функции состоит из трех частей: горизонтального луча $y=1$ на интервале $(0, +\infty)$; точки в начале координат $(0,0)$; и горизонтального луча $y=-1$ на интервале $(-\infty, 0)$. Точки $(0,1)$ и $(0,-1)$ не принадлежат графику, их обычно изображают выколотыми (пустыми кружками).

Область определения функции: Функция определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Множество значений функции: Функция может принимать только три значения: -1, 0 и 1. Следовательно, множество значений $E(y) = \{-1; 0; 1\}$.

Ответ: График функции состоит из луча $y=-1$ для $x<0$, точки $(0,0)$ и луча $y=1$ для $x>0$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y) = \{-1; 0; 1\}$.

Определим предел функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Когда $x \to +\infty$, мы рассматриваем произвольно большие положительные значения $x$. Для любого $x > 0$ значение функции $\text{sign } x = 1$. Таким образом, предел константы равен самой константе: $ \lim_{x \to +\infty} (\text{sign } x) = \lim_{x \to +\infty} 1 = 1 $

Определим предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Когда $x \to -\infty$, мы рассматриваем отрицательные значения $x$ с произвольно большим модулем. Для любого $x < 0$ значение функции $\text{sign } x = -1$. Таким образом: $ \lim_{x \to -\infty} (\text{sign } x) = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 $

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} (\text{sign } x) = 1 $, $ \lim_{x \to -\infty} (\text{sign } x) = -1 $.

Определим правосторонний предел в точке $x=0$. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0+0$), мы рассматриваем значения $x$, которые становятся сколь угодно близки к нулю, оставаясь положительными ($x > 0$). Для всех таких $x$ значение функции $\text{sign } x = 1$. Следовательно: $ \lim_{x \to 0+0} (\text{sign } x) = \lim_{x \to 0+} 1 = 1 $

Определим левосторонний предел в точке $x=0$. Когда $x$ стремится к нулю слева ($x \to 0-0$), мы рассматриваем значения $x$, которые становятся сколь угодно близки к нулю, оставаясь отрицательными ($x < 0$). Для всех таких $x$ значение функции $\text{sign } x = -1$. Следовательно: $ \lim_{x \to 0-0} (\text{sign } x) = \lim_{x \to 0-} (-1) = -1 $

Ответ: $ \lim_{x \to 0+0} (\text{sign } x) = 1 $, $ \lim_{x \to 0-0} (\text{sign } x) = -1 $.

Существуют ли $lim_{x \to +\infty} \sin x$, $lim_{x \to \infty} \sin x$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

(1) Пределы $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ и $\lim_{x \to -\infty} \sin x$ не существуют.

Это объясняется тем, что функция $y = \sin x$ является периодической (с периодом $2\pi$) и ее значения ограничены отрезком $[-1, 1]$. При неограниченном увеличении или уменьшении аргумента $x$, значения функции не стремятся к какому-либо одному числу, а продолжают колебаться. Для существования предела необходимо, чтобы функция приближалась к единственному значению.

Чтобы строго доказать отсутствие предела, можно использовать определение по Гейне. Согласно ему, если предел существует, то для любой последовательности аргументов $\{x_n\}$, сходящейся к точке предельного перехода (в нашем случае к $+\infty$ или $-\infty$), последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ должна сходиться к одному и тому же числу.

Рассмотрим случай $x \to +\infty$. Выберем две последовательности. Первая последовательность: $x_n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. При $n \to \infty$ имеем $x_n \to +\infty$. Значения функции на этой последовательности: $\sin(x_n) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$. Предел этой последовательности значений функции равен 1.

Вторая последовательность: $x'_n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. При $n \to \infty$ имеем $x'_n \to +\infty$. Значения функции на этой последовательности: $\sin(x'_n) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1$. Предел этой последовательности значений функции равен -1.

Поскольку мы нашли две последовательности, стремящиеся к $+\infty$, для которых пределы значений функции различны (1 и -1), это означает, что предел $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ не существует.

Аналогичное рассуждение применимо и для случая $x \to -\infty$. Рассмотрим последовательности $x_n = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (стремится к $-\infty$) и $x'_n = \frac{3\pi}{2} - 2\pi n$ (также стремится к $-\infty$). Для первой последовательности предел значений синуса будет 1, а для второй — -1. Это доказывает, что предел $\lim_{x \to -\infty} \sin x$ также не существует.

Ответ: Оба предела, $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ и $\lim_{x \to -\infty} \sin x$, не существуют. Причина заключается в периодической природе функции синуса: при $x \to \pm\infty$ ее значения не стремятся к одному конкретному числу, а постоянно колеблются в диапазоне от -1 до 1.

6. (3) Функция $y = f(x)$ определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x+1+\pi, & \text{если } x \in (-\infty; -1), \\ \arccos x, & \text{если } x \in (-1;1), \\ x^2, & \text{если } x \in (1;+\infty) \end{cases}$

а) Постройте график функции $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

б) Определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$, $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to 1} f(x)$, $\lim_{x \to -1} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

г) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

а) Постройте график функции $f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

Функция задана кусочно. Проанализируем каждый участок:

1. Участок $x \in (-\infty; -1)$: функция имеет вид $f(x) = x+1+\pi$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k=1$. Найдём предел функции при $x \to -1$ слева: $\lim_{x \to -1-0} (x+1+\pi) = -1+1+\pi = \pi$. Таким образом, график на этом интервале — это луч, который заканчивается в точке $(-1, \pi)$, сама точка не включается (изображается выколотой).

2. Участок $x \in [-1; 1)$: функция имеет вид $f(x) = \arccos(x)$. Это стандартная функция арккосинуса. В точке $x=-1$ значение функции равно $f(-1) = \arccos(-1) = \pi$. Таким образом, точка $(-1, \pi)$ принадлежит графику (изображается закрашенной). При $x \to 1$ слева, $\lim_{x \to 1-0} \arccos(x) = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$ не принадлежит графику (изображается выколотой).

3. Участок $x \in (1; +\infty)$: функция имеет вид $f(x) = x^2$. Это ветвь параболы. При $x \to 1$ справа, $\lim_{x \to 1+0} x^2 = 1^2 = 1$. График начинается из точки $(1, 1)$, которая не включается (изображается выколотой), и уходит в бесконечность.

Область определения $D(f)$:

Функция определена на объединении интервалов $(-\infty; -1)$, $[-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка $x=1$ не входит в область определения.

$D(f) = (-\infty; -1) \cup [-1; 1) \cup (1; +\infty) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Найдём множество значений на каждом участке:

- Для $x \in (-\infty; -1)$, $f(x) = x+1+\pi$ принимает значения в интервале $(-\infty; \pi)$.

- Для $x \in [-1; 1)$, $f(x) = \arccos(x)$ принимает значения в интервале $(\arccos(1); \arccos(-1)] = (0; \pi]$.

- Для $x \in (1; +\infty)$, $f(x) = x^2$ принимает значения в интервале $(1; +\infty)$.

Объединим полученные множества: $(-\infty; \pi) \cup (0; \pi] \cup (1; +\infty)$.

$(-\infty; \pi) \cup (0; \pi] = (-\infty; \pi]$.

$(-\infty; \pi] \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Множество значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$. График функции состоит из трех частей: луча прямой $y=x+1+\pi$ на $(-\infty; -1)$, части кривой $y=\arccos(x)$ на $[-1; 1)$ и ветви параболы $y=x^2$ на $(1; +\infty)$.

б) Определите $\lim_{x \to 1-0} f(x)$, $\lim_{x \to 1+0} f(x)$, $\lim_{x \to -1-0} f(x)$, $\lim_{x \to -1+0} f(x)$.

Для нахождения односторонних пределов используем соответствующее определение функции в окрестности предельной точки.

- Предел при $x \to 1-0$ (слева): $x$ находится в интервале $[-1; 1)$, поэтому $f(x) = \arccos(x)$.

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} \arccos(x) = \arccos(1) = 0$.

- Предел при $x \to 1+0$ (справа): $x$ находится в интервале $(1; +\infty)$, поэтому $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} x^2 = 1^2 = 1$.

- Предел при $x \to -1-0$ (слева): $x$ находится в интервале $(-\infty; -1)$, поэтому $f(x) = x+1+\pi$.

$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} (x+1+\pi) = -1+1+\pi = \pi$.

- Предел при $x \to -1+0$ (справа): $x$ находится в интервале $[-1; 1)$, поэтому $f(x) = \arccos(x)$.

$\lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} \arccos(x) = \arccos(-1) = \pi$.

Ответ: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to -1-0} f(x) = \pi$, $\lim_{x \to -1+0} f(x) = \pi$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to 1} f(x)$, $\lim_{x \to -1} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

Двусторонний предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой левый и правый односторонние пределы в этой точке.

- Для точки $x=1$:

Из пункта б) имеем: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$.

Так как $0 \neq 1$, односторонние пределы не равны. Следовательно, предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует.

- Для точки $x=-1$:

Из пункта б) имеем: $\lim_{x \to -1-0} f(x) = \pi$ и $\lim_{x \to -1+0} f(x) = \pi$.

Так как односторонние пределы равны, предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ существует и равен их общему значению.

$\lim_{x \to -1} f(x) = \pi$.

Ответ: Предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны. Предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ существует и равен $\pi$.

г) Определите $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

- При $x \to +\infty$ функция определяется формулой $f(x) = x^2$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

- При $x \to -\infty$ функция определяется формулой $f(x) = x+1+\pi$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x+1+\pi) = -\infty$.

Ответ: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Проверим точки, где меняется аналитическое задание функции: $x=-1$ и $x=1$.

- Точка $x=-1$:

Значение функции: $f(-1) = \arccos(-1) = \pi$.

Предел функции (из пункта в)): $\lim_{x \to -1} f(x) = \pi$.

Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, функция непрерывна в точке $x=-1$.

- Точка $x=1$:

Функция не определена в точке $x=1$, следовательно, она имеет в этой точке разрыв.

Определим тип разрыва. Из пункта б) мы знаем, что односторонние пределы существуют и конечны: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 1$.

Так как односторонние пределы существуют, конечны, но не равны, в точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

На всех остальных участках области определения функция задана элементарными непрерывными функциями, поэтому она непрерывна.

Ответ: Промежутки непрерывности функции: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка разрыва: $x=1$. Это разрыв первого рода (скачок).