Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

6. (2) На рисунке 4 изображены графики функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f):[-3;5]$, $D(g):\left[-3\frac{1}{2};8\right]$.

Рис. 4

a) Сколько корней имеет уравнение $f(x)=g(x)$? Укажите значения $x$, при которых $f(x)=g(x)$.

б) Укажите значения $x$, при которых $g(x)=0$, т.е. решите уравнение $g(x)=0$.

в) Укажите значения $x$, при которых $g(x) \le 0$, т.е. решите неравенство $g(x) \le 0$.

г) Сколько корней имеет уравнение $g(x)=\frac{3}{2}$?

д) Решите уравнение $f(x)=\frac{3}{2}$.

е) Решите неравенства $f(x) \ge g(x)$, $f(x) < g(x)$.

ж) Решите систему неравенств $\begin{cases} g(x) < 2\frac{1}{2}, \\ g(x) \ge f(x). \end{cases}$

а)

Корни уравнения $f(x)=g(x)$ соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$.
Из графика видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их координаты $x$:

1. Первая точка пересечения имеет абсциссу $x=-2$.
2. Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x=2$.
3. Третья точка пересечения имеет абсциссу $x=4$.

Таким образом, уравнение имеет 3 корня.
Ответ: Уравнение имеет 3 корня: $x_1=-2$, $x_2=2$, $x_3=4$.

б)

Чтобы решить уравнение $g(x)=0$, необходимо найти абсциссы точек, в которых график функции $g(x)$ (красная линия) пересекает ось абсцисс (ось Ox).
Из графика видно, что это происходит в следующих точках:

• $x=-3$
• $x=3$
• $x=7$

Ответ: $x_1=-3$, $x_2=3$, $x_3=7$.

в)

Чтобы решить неравенство $g(x)\leq0$, необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $g(x)$ (красная линия) находится на оси Ox или ниже нее.
Используя точки пересечения из пункта б), определим интервалы:

• На отрезке $[-3.5; -3]$ график функции $g(x)$ находится ниже и на оси Ox.
• На отрезке $[3; 7]$ график функции $g(x)$ находится ниже и на оси Ox.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in [-3.5; -3] \cup [3; 7]$.

г)

Чтобы определить количество корней уравнения $g(x)=\frac{3}{2}$, проведем мысленно горизонтальную прямую $y=\frac{3}{2}$ (или $y=1.5$). Количество корней будет равно количеству точек пересечения этой прямой с графиком функции $g(x)$.
Прямая $y=1.5$ пересекает график $g(x)$ в четырех точках.
Ответ: Уравнение имеет 4 корня.

д)

Чтобы решить уравнение $f(x)=-\frac{3}{2}$, проведем мысленно горизонтальную прямую $y=-\frac{3}{2}$ (или $y=-1.5$) и найдем абсциссу точки ее пересечения с графиком функции $f(x)$ (зеленая линия).
Из графика видно, что прямая $y=-1.5$ пересекает график $f(x)$ в одной точке, абсцисса которой равна $3.5$.
Ответ: $x=3.5$.

е)

1. Решим неравенство $f(x)\geq g(x)$.
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ (зеленая линия) расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне), чем график функции $g(x)$ (красная линия). Точки пересечения, найденные в пункте а) ($x=-2, x=2, x=4$), являются границами интервалов.

• На отрезке $[-3; -2]$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$.
• На отрезке $[2; 4]$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$.

Решение: $x \in [-3; -2] \cup [2; 4]$.
2. Решим неравенство $f(x)Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен строго ниже графика функции $g(x)$.

• На интервале $(-2; 2)$ график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.
• На интервале $(4; 5]$ график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$ (учитываем, что область определения $f(x)$ заканчивается в точке $x=5$).

Решение: $x \in (-2; 2) \cup (4; 5]$.
Ответ: $f(x)\geq g(x)$ при $x \in [-3; -2] \cup [2; 4]$; $f(x)

ж)

Необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases} g(x) < 2\frac{1}{2} \\ g(x) \geq f(x) \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $g(x) < 2.5$.
Найдем значения $x$, при которых график $g(x)$ находится ниже прямой $y=2.5$. Из графика видно, что $g(x)=2.5$ при $x=-0.5$ и $x=1.5$. Следовательно, $g(x)<2.5$ при $x \in [-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8]$.
2. Решим второе неравенство $g(x) \geq f(x)$, что эквивалентно $f(x) \leq g(x)$.
Это условие выполняется, когда график $f(x)$ находится не выше (ниже или на том же уровне) графика $g(x)$. Из пункта е) следует, что это происходит на интервалах $x \in [-2; 2] \cup [4; 5]$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нужно найти $x$, которые принадлежат одновременно множеству $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ и множеству $([-2; 2] \cup [4; 5])$.

• Пересечение $[-2; 2]$ с $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ дает $[-2; -0.5) \cup (1.5; 2]$.
• Пересечение $[4; 5]$ с $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ дает $[4; 5]$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [-2; -0.5) \cup (1.5; 2] \cup [4; 5]$.

7. (1) Дана функция $f(x)=x^2-3x+2$.

а) Найдите $f(0), f(3), f(-3)$.

б) Найдите те значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю.

Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 2$.

а) Чтобы найти значения функции при заданных значениях аргумента, нужно подставить эти значения в формулу функции.

Найдем $f(0)$:

$f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$

Найдем $f(3)$:

$f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$

Найдем $f(-3)$:

$f(-3) = (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20$

Ответ: $f(0)=2$, $f(3)=2$, $f(-3)=20$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю, нужно решить уравнение $f(x)=0$.

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, функция равна нулю при $x=1$ и $x=2$.

Ответ: $1; 2$.

8. (3) Найдите область определения следующих функций:

а) $f(x) = \frac{1}{x};$

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = \sqrt{-x};$

г) $f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

е) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x};$

ж) $f(x) = \sqrt{\frac{1 - x^2}{x}};$

з) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{x}}.$

а) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Для функции $f(x)=\frac{1}{x}$ знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Для функции $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ знаменатель дроби не должен равняться нулю. Необходимо найти значения $x$, при которых $x^2-1=0$. Решая уравнение, получаем $x^2=1$, откуда $x=1$ и $x=-1$. Таким образом, область определения — это все действительные числа, за исключением $1$ и $-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

в) Для функции $f(x)=\sqrt{-x}$ выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство $-x \ge 0$. Умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $x \le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$

г) Для функции $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство $1-x^2 \ge 0$. Это неравенство можно переписать как $x^2 \le 1$, что эквивалентно $|x| \le 1$. Таким образом, $x$ должен находиться в пределах от $-1$ до $1$, включая концы отрезка.
Ответ: $x \in [-1; 1]$

д) Для функции $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ выражение под знаком корня должно быть строго положительным, поскольку корень находится в знаменателе дроби, который не может быть равен нулю. Следовательно, решаем неравенство $1-x^2 > 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 1$, или $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$

е) Для функции $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ должны выполняться два условия одновременно:
1) Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$, что дает $x \in [-1; 1]$.
2) Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Объединяя эти условия, мы должны исключить точку $x=0$ из отрезка $[-1; 1]$.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$

ж) Для функции $f(x)=\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Решаем неравенство $\frac{1-x^2}{x} \ge 0$. Для решения используем метод интервалов. Находим нули числителя ($1-x^2=0 \implies x=\pm1$) и нуль знаменателя ($x=0$). Эти точки делят числовую ось на интервалы. Проверяя знак дроби на каждом интервале, находим, что она положительна при $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (0; 1)$. Так как неравенство нестрогое, включаем нули числителя. Нуль знаменателя всегда исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (0; 1]$

з) Для функции $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{x}}$ должны выполняться два условия:
1) Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0 \implies x \in [-1; 1]$.
2) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x > 0$.
Область определения является пересечением множеств, удовлетворяющих этим двум условиям: $x \in [-1; 1] \cap (0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1]$

9. (2) Приведите примеры функциональной зависимости одних физических величин от других. В чем причины такой зависимости? Что является аргументом и что – значением в приведенных вами примерах. Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений. Как изменяется значение функции при изменении аргумента? Обоснуйте свои результаты в тетради.

Функциональная зависимость в физике — это математическое выражение, которое показывает, как одна физическая величина (значение функции) изменяется в зависимости от изменения другой физической величины (аргумента). Такие зависимости возникают из-за фундаментальных законов природы, которые связывают различные явления и их характеристики.

Рассмотрим два примера.

Пример 1: Зависимость пройденного пути от времени при равномерном прямолинейном движении.

Функциональная зависимость выражается формулой: $s(t) = v \cdot t$, где $s$ — пройденный путь, $t$ — время движения, а $v$ — постоянная скорость.

В чем причины такой зависимости?

Причина заключается в самом определении равномерного движения: тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния. Эта физическая закономерность математически описывается как прямая пропорциональность между пройденным путем и временем движения.

Что является аргументом и что — значением в приведенных вами примерах?

В данном случае аргументом является время $t$, так как это независимая переменная, от которой зависит пройденный путь. Значением функции является путь $s$, так как его величина определяется тем, сколько времени двигалось тело. Скорость $v$ выступает в роли постоянного коэффициента (параметра), который характеризует конкретное движение.

Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений.

Область определения (допустимые значения аргумента $t$): Время в физических задачах не может быть отрицательным. Отсчет начинается с момента $t=0$. Следовательно, область определения — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0, +\infty)$.

Множество значений (допустимые значения функции $s$): Поскольку скорость $v$ (как модуль) и время $t$ неотрицательны, пройденный путь $s$ также не может быть отрицательным. Множество значений — это также луч $[0, +\infty)$.

Как изменяется значение функции при изменении аргумента?

Зависимость $s(t)$ является линейной (прямая пропорциональность). Это означает, что при увеличении аргумента (времени $t$) в $k$ раз, значение функции (путь $s$) увеличивается во столько же раз. Например, если увеличить время движения в 2 раза, то и пройденный путь увеличится в 2 раза.

Обоснуйте свои результаты в тетради.

Результаты обосновываются базовым определением равномерного движения. Математическая модель $s(t) = v \cdot t$ является линейной функцией, свойства которой (пропорциональный рост, график — прямая линия из начала координат) полностью соответствуют физическому процессу. Ограничения на область определения ($t \ge 0$) и множество значений ($s \ge 0$) вытекают из физического смысла этих величин.

Ответ: В примере с равномерным движением путь $s$ функционально зависит от времени $t$ по закону $s(t) = v \cdot t$. Аргументом является время $t \in [0, +\infty)$, значением — путь $s \in [0, +\infty)$. Зависимость является линейной: увеличение времени приводит к пропорциональному увеличению пути.

Пример 2: Зависимость кинетической энергии от скорости тела.

Функциональная зависимость выражается формулой: $E_k(v) = \frac{m v^2}{2}$, где $E_k$ — кинетическая энергия тела, $v$ — его скорость, а $m$ — постоянная масса тела.

В чем причины такой зависимости?

Причина — в определении кинетической энергии как энергии движения. Физический закон гласит, что энергия, которой обладает движущееся тело, пропорциональна его массе и квадрату его скорости.

Что является аргументом и что — значением в приведенных вами примерах?

Аргументом является скорость тела $v$, так как это независимая переменная, от которой мы хотим узнать энергию. Значением функции является кинетическая энергия $E_k$, которая зависит от скорости. Масса $m$ является постоянным параметром для данного тела.

Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений.

Область определения (допустимые значения аргумента $v$): Скорость (ее модуль, или скалярное значение) не может быть отрицательной. В рамках классической механики она может принимать любые значения от 0 до очень больших величин. Таким образом, область определения — это луч $[0, +\infty)$. (В релятивистской физике скорость ограничена скоростью света $c$).

Множество значений (допустимые значения функции $E_k$): Так как масса $m$ всегда положительна, а квадрат скорости $v^2$ всегда неотрицателен, кинетическая энергия $E_k$ не может быть отрицательной. Множество значений — это луч $[0, +\infty)$.

Как изменяется значение функции при изменении аргумента?

Зависимость $E_k(v)$ является квадратичной. Это означает, что значение функции изменяется непропорционально изменению аргумента. При увеличении скорости $v$ в $k$ раз, кинетическая энергия $E_k$ увеличивается в $k^2$ раз. Например, если увеличить скорость в 2 раза, энергия возрастет в $2^2 = 4$ раза. Если увеличить скорость в 3 раза, энергия возрастет в $3^2 = 9$ раз.

Обоснуйте свои результаты в тетради.

Выводы основаны на фундаментальной формуле кинетической энергии. Математически это квадратичная функция вида $y = ax^2$ (где $a = m/2$), график которой — парабола с ветвями вверх, выходящая из начала координат. Нелинейный рост энергии при увеличении скорости — ключевое свойство этой зависимости, объясняющее, например, почему разрушительная сила при столкновениях так резко возрастает с увеличением скорости. Физический смысл величин ($v \ge 0, m > 0$) определяет область определения и множество значений ($E_k \ge 0$).

Ответ: В примере с кинетической энергией, энергия $E_k$ функционально зависит от скорости $v$ по закону $E_k(v) = \frac{m v^2}{2}$. Аргументом является скорость $v \in [0, +\infty)$, значением — энергия $E_k \in [0, +\infty)$. Зависимость является квадратичной: увеличение скорости в $k$ раз приводит к увеличению энергии в $k^2$ раз.

10. (2) На рисунке 5 изображены графики функций $f(x)$ и $g(x)$, $D(f):[-2;6]$, $D(g):[-1;7]$.

а) Решите уравнение

$f(x)=g(x)$.

б) Решите уравнения

$f(x)=\frac{1}{2}$, $g(x)=0$, $f(x)=\frac{1}{2}$.

в) Решите неравенства

$f(x)>\frac{1}{2}$, $g(x) \le 0$.

г) Решите неравенства

$f(x)g(x)$.

д) Решите систему неравенств

е) Решите систему неравенств

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках. Абсцисса первой точки пересечения $x_1=0$. Абсцисса второй точки пересечения, судя по рисунку, $x_2=2$.

Ответ: $x=0; x=2$.

б) Решите уравнения $f(x)=1\frac{1}{2}$, $g(x)=0$, $f(x)=\frac{1}{2}$

Для решения данных уравнений находим абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций с горизонтальными прямыми или с осью абсцисс.
1. Уравнение $f(x)=1\frac{1}{2}$ или $f(x)=1.5$. Проводим горизонтальную прямую $y=1.5$ и находим точки ее пересечения с графиком $f(x)$. Таких точек две, их абсциссы: $x=-1$ и $x=4$.
2. Уравнение $g(x)=0$. Находим точки пересечения графика $g(x)$ с осью $Ox$. Первая точка находится на отрезке $[-1, 1]$. Уравнение прямой на этом отрезке: $g(x)=2x+1$. Решая $2x+1=0$, получаем $x=-0.5$. Вторая точка находится на отрезке $[1, 7]$. Уравнение прямой на этом отрезке: $g(x)=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$. Решая $-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}=0$, получаем $5x=23$, откуда $x=4.6$.
3. Уравнение $f(x)=\frac{1}{2}$ или $f(x)=0.5$. Из графика видно, что минимальное значение функции $f(x)$ на всей области определения равно 1. Следовательно, прямая $y=0.5$ не пересекает график $f(x)$, и уравнение не имеет решений.

Ответ: для $f(x)=1\frac{1}{2}$ решения $x=-1, x=4$; для $g(x)=0$ решения $x=-0.5, x=4.6$; для $f(x)=\frac{1}{2}$ решений нет.

в) Решите неравенства $f(x)>1\frac{1}{2}$, $g(x)\le0$

1. Неравенство $f(x)>1\frac{1}{2}$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится выше прямой $y=1.5$. Мы уже нашли, что $f(x)=1.5$ при $x=-1$ и $x=4$. Из графика видно, что $f(x)>1.5$ при $x \in [-2, -1)$ и при $x \in (4, 6]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (4, 6]$.

2. Неравенство $g(x)\le0$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $g(x)$ находится на оси $Ox$ или ниже нее. Мы нашли, что $g(x)=0$ при $x=-0.5$ и $x=4.6$. Из графика видно, что $g(x)\le0$ на промежутках, где $x$ от $-1$ до $-0.5$ включительно, и от $4.6$ включительно до конца области определения.

Ответ: $x \in [-1, -0.5] \cup [4.6, 7]$.

г) Решите неравенства $f(x)g(x)$

1. Неравенство $f(x)

Ответ: $x \in (0, 2)$.

2. Неравенство $f(x)>g(x)$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится выше графика функции $g(x)$. Это происходит на всей общей области определения $[-1, 6]$ за исключением отрезка $[0, 2]$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (2, 6]$.

д) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x)\ge\frac{3}{2}, \\ g(x)>0. \end{cases}$

Найдём решения для каждого неравенства и затем их пересечение.
1. $f(x)\ge\frac{3}{2}$ (или $f(x)\ge1.5$). Из пункта (в) следует, что решением является $x \in [-2, -1] \cup [4, 6]$.
2. $g(x)>0$. Из пункта (в) мы знаем, что $g(x)\le0$ на $x \in [-1, -0.5] \cup [4.6, 7]$. Следовательно, $g(x)>0$ на остальной части области определения $D(g)=[-1, 7]$, то есть при $x \in (-0.5, 4.6)$.
3. Найдём пересечение множеств решений: $([-2, -1] \cup [4, 6]) \cap (-0.5, 4.6)$. Пересечение первого интервала $[-2, -1]$ с $(-0.5, 4.6)$ пусто. Пересечение второго интервала $[4, 6]$ с $(-0.5, 4.6)$ дает $[4, 4.6)$.

Ответ: $x \in [4, 4.6)$.

е) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x)

Найдём решения для каждого неравенства и затем их пересечение.
1. $f(x)2. $f(x)\le\frac{3}{2}$ (или $f(x)\le1.5$). Это неравенство выполняется там, где не выполняется строгое неравенство $f(x)>1.5$. Из пункта (в) мы знаем, что $f(x)>1.5$ при $x \in [-2, -1) \cup (4, 6]$. На области определения $D(f)=[-2, 6]$ решением $f(x)\le1.5$ будет $x \in [-1, 4]$.
3. Найдём пересечение множеств решений: $(0, 2) \cap [-1, 4]$. Пересечением является интервал $(0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.