Номер 6, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) На рисунке 4 изображены графики функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f):[-3;5]$, $D(g):\left[-3\frac{1}{2};8\right]$.

Рис. 4

a) Сколько корней имеет уравнение $f(x)=g(x)$? Укажите значения $x$, при которых $f(x)=g(x)$.

б) Укажите значения $x$, при которых $g(x)=0$, т.е. решите уравнение $g(x)=0$.

в) Укажите значения $x$, при которых $g(x) \le 0$, т.е. решите неравенство $g(x) \le 0$.

г) Сколько корней имеет уравнение $g(x)=\frac{3}{2}$?

д) Решите уравнение $f(x)=\frac{3}{2}$.

е) Решите неравенства $f(x) \ge g(x)$, $f(x) < g(x)$.

ж) Решите систему неравенств $\begin{cases} g(x) < 2\frac{1}{2}, \\ g(x) \ge f(x). \end{cases}$

а)

Корни уравнения $f(x)=g(x)$ соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$.
Из графика видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их координаты $x$:

1. Первая точка пересечения имеет абсциссу $x=-2$.
2. Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x=2$.
3. Третья точка пересечения имеет абсциссу $x=4$.

Таким образом, уравнение имеет 3 корня.
Ответ: Уравнение имеет 3 корня: $x_1=-2$, $x_2=2$, $x_3=4$.

б)

Чтобы решить уравнение $g(x)=0$, необходимо найти абсциссы точек, в которых график функции $g(x)$ (красная линия) пересекает ось абсцисс (ось Ox).
Из графика видно, что это происходит в следующих точках:

• $x=-3$
• $x=3$
• $x=7$

Ответ: $x_1=-3$, $x_2=3$, $x_3=7$.

в)

Чтобы решить неравенство $g(x)\leq0$, необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $g(x)$ (красная линия) находится на оси Ox или ниже нее.
Используя точки пересечения из пункта б), определим интервалы:

• На отрезке $[-3.5; -3]$ график функции $g(x)$ находится ниже и на оси Ox.
• На отрезке $[3; 7]$ график функции $g(x)$ находится ниже и на оси Ox.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in [-3.5; -3] \cup [3; 7]$.

г)

Чтобы определить количество корней уравнения $g(x)=\frac{3}{2}$, проведем мысленно горизонтальную прямую $y=\frac{3}{2}$ (или $y=1.5$). Количество корней будет равно количеству точек пересечения этой прямой с графиком функции $g(x)$.
Прямая $y=1.5$ пересекает график $g(x)$ в четырех точках.
Ответ: Уравнение имеет 4 корня.

д)

Чтобы решить уравнение $f(x)=-\frac{3}{2}$, проведем мысленно горизонтальную прямую $y=-\frac{3}{2}$ (или $y=-1.5$) и найдем абсциссу точки ее пересечения с графиком функции $f(x)$ (зеленая линия).
Из графика видно, что прямая $y=-1.5$ пересекает график $f(x)$ в одной точке, абсцисса которой равна $3.5$.
Ответ: $x=3.5$.

е)

1. Решим неравенство $f(x)\geq g(x)$.
Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ (зеленая линия) расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне), чем график функции $g(x)$ (красная линия). Точки пересечения, найденные в пункте а) ($x=-2, x=2, x=4$), являются границами интервалов.

• На отрезке $[-3; -2]$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$.
• На отрезке $[2; 4]$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$.

Решение: $x \in [-3; -2] \cup [2; 4]$.
2. Решим неравенство $f(x)Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен строго ниже графика функции $g(x)$.

• На интервале $(-2; 2)$ график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.
• На интервале $(4; 5]$ график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$ (учитываем, что область определения $f(x)$ заканчивается в точке $x=5$).

Решение: $x \in (-2; 2) \cup (4; 5]$.
Ответ: $f(x)\geq g(x)$ при $x \in [-3; -2] \cup [2; 4]$; $f(x)

ж)

Необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases} g(x) < 2\frac{1}{2} \\ g(x) \geq f(x) \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $g(x) < 2.5$.
Найдем значения $x$, при которых график $g(x)$ находится ниже прямой $y=2.5$. Из графика видно, что $g(x)=2.5$ при $x=-0.5$ и $x=1.5$. Следовательно, $g(x)<2.5$ при $x \in [-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8]$.
2. Решим второе неравенство $g(x) \geq f(x)$, что эквивалентно $f(x) \leq g(x)$.
Это условие выполняется, когда график $f(x)$ находится не выше (ниже или на том же уровне) графика $g(x)$. Из пункта е) следует, что это происходит на интервалах $x \in [-2; 2] \cup [4; 5]$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нужно найти $x$, которые принадлежат одновременно множеству $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ и множеству $([-2; 2] \cup [4; 5])$.

• Пересечение $[-2; 2]$ с $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ дает $[-2; -0.5) \cup (1.5; 2]$.
• Пересечение $[4; 5]$ с $([-3.5; -0.5) \cup (1.5; 8])$ дает $[4; 5]$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [-2; -0.5) \cup (1.5; 2] \cup [4; 5]$.