Номер 1, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Дан график функции $y(x)$ (рис.3). По графику определите:

а) значение функции при заданном значении аргумента: $x=2$, $x=-4$;

б) значение аргумента при заданном значении функции: $y=8$, $y=-8$;

в) решите неравенство: $y(x) \ge 0$, $y(x) \le 3$.

Рис. 3

а) значение функции при заданном значении аргумента: $x=2$, $x=-4$

Для того чтобы определить значение функции $y$ по известному значению аргумента $x$, необходимо найти на графике точку с заданной абсциссой $x$ и определить ее ординату $y$.

1. Найдем значение функции при $x=2$. Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку $x=2$. Проводим от нее вертикальную линию до пересечения с графиком функции. Точка пересечения имеет координаты $(2, -2)$. Таким образом, при $x=2$ значение функции $y=-2$.

2. Найдем значение функции при $x=-4$. Находим на оси абсцисс точку $x=-4$. Видим, что график проходит прямо через эту точку. Координаты этой точки $(-4, 0)$. Таким образом, при $x=-4$ значение функции $y=0$.

Ответ: при $x=2$ значение функции $y=-2$; при $x=-4$ значение функции $y=0$.

б) значение аргумента при заданном значении функции: $y=3$, $y=-3$

Для того чтобы определить значение аргумента $x$ по известному значению функции $y$, необходимо найти на графике точку с заданной ординатой $y$ и определить ее абсциссу $x$.

1. Найдем значение аргумента при $y=3$. Проводим горизонтальную прямую $y=3$. Эта прямая касается графика в его наивысшей точке (вершине). Абсцисса этой точки равна $-3$. Таким образом, при $y=3$ значение аргумента $x=-3$.

2. Найдем значение аргумента при $y=-3$. Проводим горизонтальную прямую $y=-3$. В видимой части графика нет точек с такой ординатой. Однако можно заметить, что левая часть графика представляет собой прямую. Найдем ее уравнение по двум точкам, через которые она проходит: $(-4, 0)$ и $(-3, 3)$. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{-3 - (-4)} = \frac{3}{1} = 3$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставив одну из точек, например $(-4, 0)$, получим: $0 = 3 \cdot (-4) + b$, откуда $b=12$. Итак, уравнение левой части графика $y = 3x + 12$. Теперь найдем $x$, при котором $y=-3$:
$-3 = 3x + 12$
$3x = -3 - 12$
$3x = -15$
$x = -5$
Таким образом, при $y=-3$ значение аргумента $x=-5$.

Ответ: при $y=3$ значение аргумента $x=-3$; при $y=-3$ значение аргумента $x=-5$.

в) решите неравенство: $y(x)\ge0$, $y(x)\le3$

1. Решим неравенство $y(x) \ge 0$. Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси $x$ или выше нее. Сначала найдем точки пересечения графика с осью $x$ (нули функции). Из графика видно, что это точки $x=-4$ и $x=0$. Есть еще одна точка пересечения. Она лежит на отрезке прямой, проходящей через точки $(2, -2)$ и $(4, 2)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-2)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$. Уравнение прямой: $y - y_1 = k(x - x_1) \Rightarrow y - (-2) = 2(x - 2) \Rightarrow y+2=2x-4 \Rightarrow y=2x-6$. Найдем нуль функции: $0=2x-6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$.
Итак, нули функции: $x=-4, x=0, x=3$.
График находится на оси $x$ или выше нее на промежутке от $-4$ до $0$ включительно, а также для всех $x$ от $3$ включительно и далее.
Решение неравенства: $x \in [-4, 0] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим неравенство $y(x) \le 3$. Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на прямой $y=3$ или ниже нее. Из графика видно, что максимальное значение функции равно 3 (в точке $x=-3$). Все остальные точки графика лежат ниже линии $y=3$. Следовательно, неравенство $y(x) \le 3$ выполняется для всех значений $x$ из области определения функции. Предполагая, что функция определена для всех действительных чисел, решение будет $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $y(x) \ge 0$ при $x \in [-4, 0] \cup [3, +\infty)$; $y(x) \le 3$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.