Номер 3, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

На координатной плоскости в виде линии изображено некоторое множество точек. Каждому числу $x$ из отрезка $[-4;13]$ ставим в соответствие ординату $y$ той точки изображенного множества, которое имеет абсциссу $x$ (рис.1).

а) Почему определенное таким образом правило задает функцию (назовем ее $f$)?

б) Определите $f(-4)$, $f(9)$, $f(13)$.

в) Решите уравнение $f(x)=6$.

г) Решите неравенство $f(x)<6$.

д) Найти множество значений функции $f$.

а) Данное правило задает функцию, поскольку каждому значению аргумента $x$ из области определения, отрезка $[-4; 13]$, соответствует ровно одно значение переменной $y$. Графически это подтверждается тем, что любая вертикальная прямая, проведенная через точку $x$ на отрезке $[-4; 13]$, пересекает график ровно в одной точке (это называется тестом вертикальной линии).
Ответ: Правило задает функцию, так как каждому значению $x$ из отрезка $[-4; 13]$ соответствует единственное значение $y$.

б) Чтобы найти значения функции по графику, необходимо найти заданные значения на оси абсцисс ($x$) и определить соответствующие им значения на оси ординат ($y$).

• Для $x = -4$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 4. Таким образом, $f(-4) = 4$.
• Для $x = 9$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 6. Таким образом, $f(9) = 6$.
• Для $x = 13$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 11. Таким образом, $f(13) = 11$.

в) Решить уравнение $f(x) = 6$ означает найти все значения $x$, при которых значение функции $y$ равно 6. Для этого проведем на графике горизонтальную прямую $y=6$ и найдем абсциссы точек ее пересечения с графиком функции. Прямая $y=6$ пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 9.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 9$.

г) Решить неравенство $f(x) < 6$ означает найти все значения $x$, при которых график функции находится ниже горизонтальной прямой $y=6$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $f(x)=6$ при $x=0$ и $x=9$. Глядя на график, мы видим, что кривая расположена ниже линии $y=6$ на интервале между этими точками.
Ответ: $x \in (0; 9)$.

д) Множество значений функции – это все значения, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти его по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции. Из графика видно, что наименьшее значение функции достигается в точке $x=5$ и равно $y_{min}=2$. Наибольшее значение достигается в точке $x=13$ и равно $y_{max}=11$. Так как функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим.
Ответ: Множество значений функции $E(f) = [2; 11]$.