Номер 6, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на два дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала каждая бригада?

Пусть $x$ — количество деревьев, которые вторая бригада высаживала ежедневно (производительность второй бригады). Тогда первая бригада ежедневно высаживала $x + 40$ деревьев.

Время, за которое первая бригада посадила 270 деревьев, составляет $t_1 = \frac{270}{x+40}$ дней.

Время, за которое вторая бригада посадила 250 деревьев, составляет $t_2 = \frac{250}{x}$ дней.

По условию задачи, вторая бригада работала на два дня больше первой, следовательно, $t_2 = t_1 + 2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{250}{x} = \frac{270}{x+40} + 2$

Для решения приведем все члены к общему знаменателю $x(x+40)$. Так как $x$ обозначает количество деревьев, высаживаемых в день, то $x > 0$.

$250(x+40) = 270x + 2x(x+40)$

$250x + 10000 = 270x + 2x^2 + 80x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 270x + 80x - 250x - 10000 = 0$

$2x^2 + 100x - 10000 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 50x - 5000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5000) = 2500 + 20000 = 22500$

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-50 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-50 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-200}{2} = -100$

Поскольку $x$ представляет собой производительность, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x = 50$.

Таким образом, производительность второй бригады — 50 деревьев в день.

Теперь найдем, сколько дней работала каждая бригада.

Время работы второй бригады: $t_2 = \frac{250}{50} = 5$ дней.

Производительность первой бригады: $50 + 40 = 90$ деревьев в день.

Время работы первой бригады: $t_1 = \frac{270}{90} = 3$ дня.

Проверка: вторая бригада работала на $5 - 3 = 2$ дня больше, что соответствует условию.

Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада — 5 дней.