Номер 1, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Решите дробно-рациональное неравенство

$\frac{x-2}{(x+2)(x-5)} \ge 0.$

1. Для решения данного дробно-рационального неравенства $\frac{x-2}{(x+2)(x-5)} \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x+2)(x-5) \neq 0$

Отсюда следует, что $x+2 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$.

Таким образом, $x \neq -2$ и $x \neq 5$. Эти точки будут "выколотыми" на числовой оси, то есть не войдут в решение.

Далее найдем нули числителя. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю, что мы уже учли).

$x-2 = 0$

$x = 2$

Поскольку неравенство нестрогое (знак $\geq$), эта точка будет "закрашенной" на числовой оси и является решением неравенства.

Теперь нанесем найденные точки на числовую ось и определим знаки выражения в получившихся интервалах. Точки $-2$ и $5$ — выколотые, точка $2$ — закрашенная. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв, например, $x = 10$:

$\frac{10-2}{(10+2)(10-5)} = \frac{8}{12 \cdot 5} = \frac{8}{60} > 0$. Значит, в этом интервале знак "+".

Все корни ($x=-2$, $x=2$, $x=5$) имеют нечетную кратность (равную 1), поэтому при переходе через каждую из этих точек знак выражения будет меняться на противоположный. Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:

— на интервале $(5; +\infty)$ знак "+";

— на интервале $(2; 5)$ знак "−";

— на интервале $(-2; 2)$ знак "+";

— на интервале $(-\infty; -2)$ знак "−".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак $\geq 0$). Это интервалы со знаком "+" и точка, где выражение равно нулю.

Выбираем интервал $(-2; 2)$ и $(5; +\infty)$. Также не забываем включить точку $x=2$, в которой числитель обращается в ноль. Таким образом, промежуток $(-2; 2)$ становится полуинтервалом $(-2; 2]$.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-2, 2] \cup (5, +\infty)$.