Номер 3, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решите уравнение

$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)=120.$

Исходное уравнение: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120$.

Для решения такого типа уравнений применяется метод группировки и замены переменной. Сгруппируем множители так, чтобы после раскрытия скобок получить одинаковое выражение. Заметим, что сумма свободных членов в первой и четвертой скобках равна сумме во второй и третьей: $1+4 = 5$ и $2+3 = 5$. Переставим множители местами:

$((x+1)(x+4)) \cdot ((x+2)(x+3)) = 120$.

Теперь раскроем скобки в каждой группе:

$(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 120$.

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 5x$. Тогда уравнение примет вид:

$(t + 4)(t + 6) = 120$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 6t + 4t + 24 = 120$

$t^2 + 10t + 24 - 120 = 0$

$t^2 + 10t - 96 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-96$, а сумма равна $-10$. Эти числа: $-16$ и $6$. Таким образом, корни уравнения: $t_1 = -16$ и $t_2 = 6$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Рассмторим случай, когда $t = 6$.

Выполняем обратную замену:

$x^2 + 5x = 6$

$x^2 + 5x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-6$, а сумма равна $-5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

2. Рассмторим случай, когда $t = -16$.

Выполняем обратную замену:

$x^2 + 5x = -16$

$x^2 + 5x + 16 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить, есть ли у него действительные корни: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $1; -6$.