Номер 6, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их произведение равно 64, а их среднее арифметическое $ \frac{14}{3} $. Найдите эти числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Для удобства решения обозначим их как $\frac{b}{q}$, $b$ и $bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По первому условию задачи, произведение этих чисел равно 64. Составим уравнение:

$\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = 64$

Упростим выражение:

$b^3 = 64$

Отсюда находим значение $b$:

$b = \sqrt[3]{64} = 4$

Таким образом, средний член прогрессии равен 4, а сами числа имеют вид $\frac{4}{q}$, 4 и $4q$.

По второму условию, среднее арифметическое этих чисел равно $\frac{14}{3}$. Составим второе уравнение:

$\frac{\frac{4}{q} + 4 + 4q}{3} = \frac{14}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14$

Перенесем 4 в правую часть:

$\frac{4}{q} + 4q = 14 - 4$

$\frac{4}{q} + 4q = 10$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $q$ (при условии, что $q \ne 0$, что верно для геометрической прогрессии):

$4 + 4q^2 = 10q$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4q^2 - 10q + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Теперь найдем корни уравнения (значения $q$):

$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем искомые числа для каждого из двух найденных значений знаменателя $q$.

Случай 1: $q = 2$

Первое число: $\frac{4}{q} = \frac{4}{2} = 2$

Второе число: $b = 4$

Третье число: $4q = 4 \cdot 2 = 8$

Получаем числа: 2, 4, 8.

Случай 2: $q = \frac{1}{2}$

Первое число: $\frac{4}{q} = \frac{4}{1/2} = 8$

Второе число: $b = 4$

Третье число: $4q = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Получаем числа: 8, 4, 2.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел {2, 4, 8}. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.

Произведение: $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$. (Верно)

Среднее арифметическое: $\frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3}$. (Верно)

Ответ: 2, 4, 8.