Номер 5, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Не вычисляя корней уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$, найдите:

а) $x_1^2 + x_2^2;$

б) $x_1x_2^3 + x_1^3x_2;$

в) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}.$

Для решения данной задачи, не вычисляя корней уравнения, воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для заданного уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$ имеем коэффициенты: $a=3$, $b=8$, $c=-1$.

Тогда сумма и произведение его корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3}$

Используя эти два соотношения, найдем значения заданных выражений.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы выразить сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используем тождество квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9}$.

Ответ: $\frac{70}{9}$.

б) $x_1x_2^3 + x_1^3x_2$

Сначала вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = x_1x_2(x_2^2 + x_1^2)$.

Мы знаем значение произведения $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$, а значение суммы квадратов $x_1^2 + x_2^2$ мы нашли в предыдущем пункте: $\frac{70}{9}$.

Подставим эти значения в выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{70}{9}\right) = -\frac{70}{27}$.

Ответ: $-\frac{70}{27}$.

в) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю $x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2$:

$\frac{x_1 \cdot x_1^2}{x_2^2 \cdot x_1^2} + \frac{x_2 \cdot x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2}$.

Теперь нам нужно найти значение суммы кубов $x_1^3 + x_2^3$. Используем тождество: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{8}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} - (1)\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{584}{27}$.

Знаменатель равен $(x_1x_2)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем значение всего выражения:

$\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2} = \frac{-584/27}{1/9} = -\frac{584}{27} \cdot 9 = -\frac{584}{3}$.

Ответ: $-\frac{584}{3}$.