Страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. Решите систему линейных неравенств $\begin{cases} 3x - 15 < 18, \\ 4x - 10 > 5. \end{cases}$

1. Для того чтобы решить систему линейных неравенств, необходимо решить каждое неравенство в системе по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их решений.

Дана система:

$ \begin{cases} 3x - 15 < 18, \\ 4x - 10 > 5. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $3x - 15 < 18$.
Перенесем число -15 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$3x < 18 + 15$
$3x < 33$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x < \frac{33}{3}$
$x < 11$
Решение первого неравенства — это все числа, меньшие 11, что можно записать в виде интервала: $(-\infty; 11)$.

2. Решим второе неравенство: $4x - 10 > 5$.
Перенесем число -10 из левой части в правую с противоположным знаком:
$4x > 5 + 10$
$4x > 15$
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:
$x > \frac{15}{4}$
Решение второго неравенства — это все числа, большие $\frac{15}{4}$, что можно записать в виде интервала: $(\frac{15}{4}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.
Нам нужно найти множество значений $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x < 11$ и $x > \frac{15}{4}$.
Это соответствует пересечению двух интервалов: $(-\infty; 11) \cap (\frac{15}{4}; +\infty)$.
Объединив условия, получаем двойное неравенство: $\frac{15}{4} < x < 11$.
Следовательно, решением системы является интервал от $\frac{15}{4}$ до $11$.

Ответ: $(\frac{15}{4}; 11)$.

2. Найдите область определения функции $y=\frac{1}{|x|-3}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае мы имеем дело с дробно-рациональной функцией.

Функция задана формулой $y = \frac{1}{|x|-3}$.

Единственное ограничение, которое здесь существует, — это то, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$|x| - 3 = 0$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$|x| = 3$

Уравнение с модулем $|x|=a$ (где $a>0$) распадается на два уравнения: $x=a$ и $x=-a$.

Следовательно, получаем два решения:

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Эти два значения $x$ (3 и -3) необходимо исключить из множества всех действительных чисел, чтобы функция была определена.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -3 и 3. Это можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Докажите тождество $ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha} $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть $ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin(2\alpha)} $.

Используем формулу косинуса двойного угла для числителя: $ 1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $.

Для знаменателя используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ 1 + \sin(2\alpha) = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Подставив преобразованные выражения в исходную дробь, получаем:

$ \frac{\cos(2\alpha)}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

Теперь представим косинус двойного угла в числителе как разность квадратов: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha) $.

Дробь принимает вид:

$ \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} $.

Сокращаем дробь на общий множитель $ (\cos\alpha + \sin\alpha) $ (при условии, что $ \cos\alpha + \sin\alpha \neq 0 $, что соответствует области определения правой части тождества):

$ \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} $.

Для получения правой части тождества, разделим числитель и знаменатель полученного выражения на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $, что необходимо для существования $ \tan\alpha $):

$ \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha} $.

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4. На путь по течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный путь - 4,5 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч?

4.

Обозначим искомую скорость течения реки за $v_т$.
Согласно условию задачи, нам известны:
- собственная скорость катера: $v_к = 25$ км/ч;
- время движения по течению: $t_{по} = 3$ ч;
- время движения против течения: $t_{против} = 4,5$ ч.

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме собственной скорости катера и скорости течения: $v_{по\;теч.} = v_к + v_т$.
Скорость катера при движении против течения равна разности их скоростей: $v_{против\;теч.} = v_к - v_т$.

Катер прошел одинаковое расстояние $S$ в обоих направлениях. Расстояние можно найти по формуле $S = v \cdot t$.
Поскольку расстояние одинаково, мы можем приравнять выражения для пути по течению и против течения:
$S = (v_к + v_т) \cdot t_{по} = (v_к - v_т) \cdot t_{против}$

Подставим в это уравнение известные значения:
$(25 + v_т) \cdot 3 = (25 - v_т) \cdot 4,5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $v_т$:
$3 \cdot 25 + 3 \cdot v_т = 4,5 \cdot 25 - 4,5 \cdot v_т$
$75 + 3v_т = 112,5 - 4,5v_т$
Перенесем слагаемые с переменной $v_т$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$3v_т + 4,5v_т = 112,5 - 75$
$7,5v_т = 37,5$
$v_т = \frac{37,5}{7,5}$
$v_т = 5$

Ответ: 5 км/ч.

5. Не вычисляя корней уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$, найдите:

а) $x_1^2 + x_2^2;$

б) $x_1x_2^3 + x_1^3x_2;$

в) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}.$

Для решения данной задачи, не вычисляя корней уравнения, воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для заданного уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$ имеем коэффициенты: $a=3$, $b=8$, $c=-1$.

Тогда сумма и произведение его корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3}$

Используя эти два соотношения, найдем значения заданных выражений.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы выразить сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используем тождество квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9}$.

Ответ: $\frac{70}{9}$.

б) $x_1x_2^3 + x_1^3x_2$

Сначала вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = x_1x_2(x_2^2 + x_1^2)$.

Мы знаем значение произведения $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$, а значение суммы квадратов $x_1^2 + x_2^2$ мы нашли в предыдущем пункте: $\frac{70}{9}$.

Подставим эти значения в выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{70}{9}\right) = -\frac{70}{27}$.

Ответ: $-\frac{70}{27}$.

в) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю $x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2$:

$\frac{x_1 \cdot x_1^2}{x_2^2 \cdot x_1^2} + \frac{x_2 \cdot x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2}$.

Теперь нам нужно найти значение суммы кубов $x_1^3 + x_2^3$. Используем тождество: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{8}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} - (1)\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{584}{27}$.

Знаменатель равен $(x_1x_2)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем значение всего выражения:

$\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2} = \frac{-584/27}{1/9} = -\frac{584}{27} \cdot 9 = -\frac{584}{3}$.

Ответ: $-\frac{584}{3}$.

6. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их произведение равно 64, а их среднее арифметическое $ \frac{14}{3} $. Найдите эти числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Для удобства решения обозначим их как $\frac{b}{q}$, $b$ и $bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По первому условию задачи, произведение этих чисел равно 64. Составим уравнение:

$\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = 64$

Упростим выражение:

$b^3 = 64$

Отсюда находим значение $b$:

$b = \sqrt[3]{64} = 4$

Таким образом, средний член прогрессии равен 4, а сами числа имеют вид $\frac{4}{q}$, 4 и $4q$.

По второму условию, среднее арифметическое этих чисел равно $\frac{14}{3}$. Составим второе уравнение:

$\frac{\frac{4}{q} + 4 + 4q}{3} = \frac{14}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14$

Перенесем 4 в правую часть:

$\frac{4}{q} + 4q = 14 - 4$

$\frac{4}{q} + 4q = 10$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $q$ (при условии, что $q \ne 0$, что верно для геометрической прогрессии):

$4 + 4q^2 = 10q$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4q^2 - 10q + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Теперь найдем корни уравнения (значения $q$):

$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем искомые числа для каждого из двух найденных значений знаменателя $q$.

Случай 1: $q = 2$

Первое число: $\frac{4}{q} = \frac{4}{2} = 2$

Второе число: $b = 4$

Третье число: $4q = 4 \cdot 2 = 8$

Получаем числа: 2, 4, 8.

Случай 2: $q = \frac{1}{2}$

Первое число: $\frac{4}{q} = \frac{4}{1/2} = 8$

Второе число: $b = 4$

Третье число: $4q = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Получаем числа: 8, 4, 2.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел {2, 4, 8}. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.

Произведение: $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$. (Верно)

Среднее арифметическое: $\frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3}$. (Верно)

Ответ: 2, 4, 8.

7. Вычислите:

$\sin 70^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 10^\circ$

Для вычисления значения выражения $ \sin 70^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 10^\circ $ воспользуемся тригонометрическими формулами.

Сначала применим формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $ к каждому из множителей:

$ \sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ $

$ \sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ $

$ \sin 10^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \cos 80^\circ $

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ $.

Чтобы упростить это произведение, домножим и разделим его на $ 2\sin 20^\circ $ (это допустимо, так как $ \sin 20^\circ \ne 0 $). Затем последовательно применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha $.

$ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} $.

Снова применяя тот же прием, домножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{(2\sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cdot \cos 80^\circ}{2 \cdot 2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} $.

И еще раз:

$ \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} $.

Наконец, воспользуемся формулой приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $:

$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $.

Подставим это значение в наше выражение и получим окончательный результат:

$ \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8} $.

Ответ: $ \frac{1}{8} $.

8. Сколькими способами можно добраться из точки $(0;0)$ в точку $(5;2)$ на координатной плоскости, если за один ход можно сдвинуться либо на вектор $(1;0)$, либо на вектор $(0;1)$?

Чтобы добраться из точки $(0;0)$ в точку $(5;2)$, необходимо совершить 5 перемещений вправо (на вектор $(1;0)$) и 2 перемещения вверх (на вектор $(0;1)$). Каждое перемещение вправо увеличивает координату $x$ на 1, а каждое перемещение вверх увеличивает координату $y$ на 1.

Таким образом, общее количество ходов составляет $5 + 2 = 7$. Задача сводится к тому, чтобы найти количество различных последовательностей из 7 ходов, в которых 5 ходов — вправо (П), а 2 хода — вверх (В). Например, одна из таких последовательностей: ПППППВВ.

Это классическая задача комбинаторики на число перестановок с повторениями. Количество способов можно вычислить с помощью формулы сочетаний: нужно выбрать 2 позиции для ходов вверх из 7 общих позиций (остальные 5 позиций автоматически будут заняты ходами вправо).

Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=7$ (всего ходов), а $k=2$ (ходов вверх).$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Таким образом, существует 21 способ добраться из точки $(0;0)$ в точку $(5;2)$.

Ответ: 21

1. Решите дробно-рациональное неравенство

$\frac{x-2}{(x+2)(x-5)} \ge 0.$

1. Для решения данного дробно-рационального неравенства $\frac{x-2}{(x+2)(x-5)} \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x+2)(x-5) \neq 0$

Отсюда следует, что $x+2 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$.

Таким образом, $x \neq -2$ и $x \neq 5$. Эти точки будут "выколотыми" на числовой оси, то есть не войдут в решение.

Далее найдем нули числителя. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю, что мы уже учли).

$x-2 = 0$

$x = 2$

Поскольку неравенство нестрогое (знак $\geq$), эта точка будет "закрашенной" на числовой оси и является решением неравенства.

Теперь нанесем найденные точки на числовую ось и определим знаки выражения в получившихся интервалах. Точки $-2$ и $5$ — выколотые, точка $2$ — закрашенная. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв, например, $x = 10$:

$\frac{10-2}{(10+2)(10-5)} = \frac{8}{12 \cdot 5} = \frac{8}{60} > 0$. Значит, в этом интервале знак "+".

Все корни ($x=-2$, $x=2$, $x=5$) имеют нечетную кратность (равную 1), поэтому при переходе через каждую из этих точек знак выражения будет меняться на противоположный. Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:

— на интервале $(5; +\infty)$ знак "+";

— на интервале $(2; 5)$ знак "−";

— на интервале $(-2; 2)$ знак "+";

— на интервале $(-\infty; -2)$ знак "−".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак $\geq 0$). Это интервалы со знаком "+" и точка, где выражение равно нулю.

Выбираем интервал $(-2; 2)$ и $(5; +\infty)$. Также не забываем включить точку $x=2$, в которой числитель обращается в ноль. Таким образом, промежуток $(-2; 2)$ становится полуинтервалом $(-2; 2]$.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-2, 2] \cup (5, +\infty)$.

2. Найдите область определения функции

$y=\frac{x+7}{\sqrt{5x^2-x-4}}$

Область определения функции $y=\frac{x+7}{\sqrt{5x^2-x-4}}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, должно быть строго больше нуля. Это следует из двух ограничений: во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю, во-вторых, выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. Объединение этих двух условий дает строгое неравенство:
$5x^2 - x - 4 > 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - x - 4 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-1$, $c=-4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Графиком функции $f(x) = 5x^2 - x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=5$ положителен. Это означает, что значения функции положительны (то есть, $f(x) > 0$) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -4/5) \cup (1; +\infty)$.
Это и есть искомая область определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty; -4/5) \cup (1; +\infty)$.

3. Решите уравнение

$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)=120.$

Исходное уравнение: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120$.

Для решения такого типа уравнений применяется метод группировки и замены переменной. Сгруппируем множители так, чтобы после раскрытия скобок получить одинаковое выражение. Заметим, что сумма свободных членов в первой и четвертой скобках равна сумме во второй и третьей: $1+4 = 5$ и $2+3 = 5$. Переставим множители местами:

$((x+1)(x+4)) \cdot ((x+2)(x+3)) = 120$.

Теперь раскроем скобки в каждой группе:

$(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 120$.

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 5x$. Тогда уравнение примет вид:

$(t + 4)(t + 6) = 120$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 6t + 4t + 24 = 120$

$t^2 + 10t + 24 - 120 = 0$

$t^2 + 10t - 96 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-96$, а сумма равна $-10$. Эти числа: $-16$ и $6$. Таким образом, корни уравнения: $t_1 = -16$ и $t_2 = 6$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Рассмторим случай, когда $t = 6$.

Выполняем обратную замену:

$x^2 + 5x = 6$

$x^2 + 5x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-6$, а сумма равна $-5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

2. Рассмторим случай, когда $t = -16$.

Выполняем обратную замену:

$x^2 + 5x = -16$

$x^2 + 5x + 16 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить, есть ли у него действительные корни: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $1; -6$.

4. Решите систему уравнений

$\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 2y^2 = 8, \\ 2x^2 + 3xy - y^2 = 4. \end{cases}$

Данная система уравнений является системой однородных уравнений. Для ее решения умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять свободные члены:$\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 2y^2 = 8, \\ 4x^2 + 6xy - 2y^2 = 8.\end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части: $3x^2 + 2xy - 2y^2 = 4x^2 + 6xy - 2y^2$.

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - 3x^2) + (6xy - 2xy) + (-2y^2 + 2y^2) = 0$, что приводит к уравнению $x^2 + 4xy = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 4y) = 0$. Это уравнение дает два возможных случая, которые мы рассмотрим поочередно.

Случай 1: $x = 0$. Подставим это значение в любое из исходных уравнений, например, во второе $2x^2 + 3xy - y^2 = 4$. Получим $2(0)^2 + 3(0)y - y^2 = 4$, что упрощается до $-y^2 = 4$, или $y^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $x + 4y = 0$, или $x = -4y$. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $2(-4y)^2 + 3(-4y)y - y^2 = 4$. Последовательно упрощаем: $2(16y^2) - 12y^2 - y^2 = 4$, далее $32y^2 - 12y^2 - y^2 = 4$, что дает $19y^2 = 4$. Отсюда $y^2 = \frac{4}{19}$, и $y = \pm \sqrt{\frac{4}{19}} = \pm \frac{2}{\sqrt{19}}$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из соотношения $x = -4y$.

Если $y = \frac{2}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{19}}{19}$, то $x = -4 \cdot \frac{2\sqrt{19}}{19} = -\frac{8\sqrt{19}}{19}$.

Если $y = -\frac{2}{\sqrt{19}} = -\frac{2\sqrt{19}}{19}$, то $x = -4 \cdot \left(-\frac{2\sqrt{19}}{19}\right) = \frac{8\sqrt{19}}{19}$.

Ответ: $\left(-\frac{8\sqrt{19}}{19}, \frac{2\sqrt{19}}{19}\right)$, $\left(\frac{8\sqrt{19}}{19}, -\frac{2\sqrt{19}}{19}\right)$.