Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

В верхней строчке таблицы указаны номера учеников 10 «А» класса в списке по классному журналу, в нижней – соответствующие оценки за контрольную работу по теме «Функция».

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

4 3 5 2 5 4 3 4 3 5 4 5 4 5 2 5 4 5 4 2 5 4 3

а) Почему данная таблица задает функцию (обозначим ее $f$)?

б) Найдите $D(f)$ и $E(f)$.

в) Найдите $f(5)$, $f(16)$, $f(23)$.

г) Решите уравнение $f(x)=2$.

д) Решите неравенство $f(x)>4$.

а) Данная таблица задает функцию, так как по определению функции, каждому значению независимой переменной (аргументу), которым является номер ученика, соответствует ровно одно значение зависимой переменной, которой является оценка. В таблице каждому номеру ученика из верхней строки поставлена в соответствие единственная оценка из нижней строки. Ответ: Таблица задает функцию, поскольку каждому элементу из области определения (номеру ученика) соответствует единственный элемент из области значений (оценка).

б) Область определения функции $D(f)$ — это множество всех ее аргументов. В данном случае это номера учеников, представленные в верхней строке таблицы. Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция. В данном случае это все уникальные оценки, представленные в нижней строке таблицы. Ответ: $D(f) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}$, $E(f) = \{2, 3, 4, 5\}$.

в) Чтобы найти значения функции для конкретных аргументов, нужно посмотреть в таблице, какая оценка соответствует указанному номеру ученика.
Для $x=5$ (ученик №5) оценка равна 5, значит, $f(5)=5$.
Для $x=16$ (ученик №16) оценка равна 5, значит, $f(16)=5$.
Для $x=23$ (ученик №23) оценка равна 3, значит, $f(23)=3$.
Ответ: $f(5)=5$, $f(16)=5$, $f(23)=3$.

г) Решить уравнение $f(x)=2$ — значит найти все значения аргумента $x$ (номера учеников), при которых значение функции $f(x)$ (оценка) равно 2. Посмотрев на нижнюю строку таблицы, находим, что оценка 2 стоит под номерами учеников 4, 15 и 20. Ответ: $x \in \{4, 15, 20\}$.

д) Решить неравенство $f(x)>4$ — значит найти все значения аргумента $x$ (номера учеников), при которых значение функции $f(x)$ (оценка) строго больше 4. Поскольку оценки могут быть только целыми числами из множества $\{2, 3, 4, 5\}$, условию $f(x)>4$ удовлетворяет только оценка 5. Теперь найдем всех учеников, которые получили оценку 5. Из таблицы видим, что это ученики с номерами 3, 5, 10, 12, 14, 16, 18, 21. Ответ: $x \in \{3, 5, 10, 12, 14, 16, 18, 21\}$.

Упражнение 3

На координатной плоскости в виде линии изображено некоторое множество точек. Каждому числу $x$ из отрезка $[-4;13]$ ставим в соответствие ординату $y$ той точки изображенного множества, которое имеет абсциссу $x$ (рис.1).

а) Почему определенное таким образом правило задает функцию (назовем ее $f$)?

б) Определите $f(-4)$, $f(9)$, $f(13)$.

в) Решите уравнение $f(x)=6$.

г) Решите неравенство $f(x)<6$.

д) Найти множество значений функции $f$.

а) Данное правило задает функцию, поскольку каждому значению аргумента $x$ из области определения, отрезка $[-4; 13]$, соответствует ровно одно значение переменной $y$. Графически это подтверждается тем, что любая вертикальная прямая, проведенная через точку $x$ на отрезке $[-4; 13]$, пересекает график ровно в одной точке (это называется тестом вертикальной линии).
Ответ: Правило задает функцию, так как каждому значению $x$ из отрезка $[-4; 13]$ соответствует единственное значение $y$.

б) Чтобы найти значения функции по графику, необходимо найти заданные значения на оси абсцисс ($x$) и определить соответствующие им значения на оси ординат ($y$).

• Для $x = -4$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 4. Таким образом, $f(-4) = 4$.
• Для $x = 9$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 6. Таким образом, $f(9) = 6$.
• Для $x = 13$ находим точку на графике и видим, что ее ордината равна 11. Таким образом, $f(13) = 11$.

в) Решить уравнение $f(x) = 6$ означает найти все значения $x$, при которых значение функции $y$ равно 6. Для этого проведем на графике горизонтальную прямую $y=6$ и найдем абсциссы точек ее пересечения с графиком функции. Прямая $y=6$ пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 9.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 9$.

г) Решить неравенство $f(x) < 6$ означает найти все значения $x$, при которых график функции находится ниже горизонтальной прямой $y=6$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $f(x)=6$ при $x=0$ и $x=9$. Глядя на график, мы видим, что кривая расположена ниже линии $y=6$ на интервале между этими точками.
Ответ: $x \in (0; 9)$.

д) Множество значений функции – это все значения, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти его по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции. Из графика видно, что наименьшее значение функции достигается в точке $x=5$ и равно $y_{min}=2$. Наибольшее значение достигается в точке $x=13$ и равно $y_{max}=11$. Так как функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим.
Ответ: Множество значений функции $E(f) = [2; 11]$.