Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

На рис. 1 изображена зависимость температуры по Цельсию окружающей среды от времени суток 3 марта 2010 года в городе Алматы.

а) Укажите, с какого и до какого момента температура повышалась. Укажите временные интервалы, в течение которых температура понижалась.

б) Укажите время, когда температура $T$ достигла своего наименьшего значения; наибольшего значения.

в) Укажите, когда $T$

в) Укажите, когда $T$

в) Укажите, когда $T$ достигла своего наименьшего значения в период с 00:00 до 08:00; наибольшего значения в период с 00.00 до 03.00.

г) В какой момент времени температура была равной $0^\circ$ по Цельсию? Когда температура была отрицательной? Положительной?

Мы не думаем, что выполнение упражнения у вас вызвало какие-нибудь затруднения. Ведь все и так «видно». Однако мы хотели бы показать, что математические концепции основаны на реалиях окружающего нас мира (или на том, как мы воспринимаем реальный мир, но это - уже совсем другая тема). Если абстрагироваться от природы величин $t$ и $T$ (считать неважным, что они обозначают), то фактически мы имеем график некоторой функции $T = f(t)$. Глядя на график, мы можем сказать следующее.

Риc. 1

1. На множестве $t \in [0;6]$ функция $f(t)$ убывает; $(0;6)$ – интервал убывания.

На множестве $t \in [6;15]$ функция $f(t)$ возрастает; $(6;15)$ интервал возрастания.

На множестве $t \in [15;24]$ функция $f(t)$ убывает; $(15;24)$ интервал убывания.

2. В точке $t=24$ функция $f(t)$ достигает своего наименьшего значения, которое равно $-8$; соответствующая запись: $\min_{t \in [0;24]} f(t) = f(24) = -8$.

Наибольшее значение достигается функцией $f$ в точке $t=15$ и равно это значение числу $3$: $\max_{t \in [0;24]} f(t) = f(15) = 3$.

3. В точке $t=6$ значение функции равно $-5$. Это значение не является наименьшим на всем множестве $t \in [0;24]$, но если брать любые точки $t$, достаточно близкие к $6$, то $f(t)>6$. Говорят, что в точке $t=6$ функция $f(t)$ достигает своего локального минимума (local(англ)- местный), $t=6$ – точка локального минимума, $f(6)=-5$ – значение локального минимума. В точке $t=0$ значение $f(t)$ равно $-2$, но точки слева от $t=0$ не лежат в области определения, точка $t=0$ не является точкой локального максимума.

4. Заметим, что $f(11)=0$ и $f(20)=0$. Точки $t=11$ и $t=20$ называются «нулями» функции $f(t)$. На промежутках $[0;11)$ и $(20;24]$ функция принимает отрицательные значения. На промежутке $(11;20)$ функция принимает положительные значения. Множества $[0;11)$, $(20;24]$ и $(11;20)$ называются промежутками знакопостоянства функции.

а) Укажите, с какого и до какого момента температура повышалась. Укажите временные интервалы, в течение которых температура понижалась.
Чтобы определить промежутки повышения и понижения температуры, нужно проанализировать график функции $T=f(t)$.
Промежуток повышения (возрастания) температуры соответствует участку графика, где кривая идет вверх при движении слева направо. На графике видно, что температура начинает расти от своего локального минимума в 6:00 и достигает максимума в 15:00. Таким образом, температура повышалась с 6:00 до 15:00. Интервал возрастания: $(6; 15)$.
Промежутки понижения (убывания) температуры соответствуют участкам, где кривая идет вниз. Это происходит на двух интервалах. Первый — с начала суток (00:00) до 6:00. Второй — с 15:00 до конца суток (24:00). Интервалы убывания: $(0; 6)$ и $(15; 24)$.
Ответ: Температура повышалась с 6:00 до 15:00. Температура понижалась с 00:00 до 6:00 и с 15:00 до 24:00.

б) Укажите время, когда температура T достигла своего наименьшего значения; наибольшего значения.
Наибольшее значение температуры соответствует самой высокой точке на графике за весь период. Эта точка — локальный максимум функции. Глядя на график, мы видим, что самая высокая температура была достигнута в 15:00 и составила $3^\circ\text{C}$.
Наименьшее значение температуры соответствует самой низкой точке на графике за весь период. На графике видно, что хотя в 6:00 есть локальный минимум ($-5^\circ\text{C}$), самая низкая температура за сутки зафиксирована в самом конце периода, в 24:00. Она составила $-8^\circ\text{C}$.
Ответ: Наименьшее значение температуры было достигнуто в 24:00, а наибольшее — в 15:00.

в) Укажите, когда T достигла своего наименьшего значения в период с 00.00 до 08.00; наибольшего значения в период с 00.00 до 03.00.
Для ответа на этот вопрос нужно рассмотреть поведение функции на указанных отрезках времени.
1. Период с 00:00 до 08:00, т.е. на отрезке $t \in [0; 8]$. На этом отрезке температура сначала убывает с $T(0)=-2^\circ\text{C}$ до $T(6)=-5^\circ\text{C}$, а затем начинает возрастать. Следовательно, наименьшее значение температуры на этом интервале было достигнуто в 6:00 и составило $-5^\circ\text{C}$.
2. Период с 00:00 до 03:00, т.е. на отрезке $t \in [0; 3]$. На этом отрезке функция температуры является монотонно убывающей. Это означает, что ее наибольшее значение достигается в начальной точке отрезка, то есть в 00:00. Температура в этот момент была $T(0)=-2^\circ\text{C}$.
Ответ: В период с 00:00 до 08:00 наименьшее значение температуры было достигнуто в 6:00. В период с 00:00 до 03:00 наибольшее значение было достигнуто в 00:00.

г) В какой момент времени температура была равной 0° по Цельсию? Когда температура была отрицательной? Положительной?
Для ответа на эти вопросы нужно найти точки пересечения графика с осью времени ($T=0$) и определить, на каких интервалах график лежит выше или ниже этой оси.
1. Температура равна $0^\circ\text{C}$ в те моменты времени, когда график пересекает ось $t$. Из графика видно, что это происходит примерно в 11:00 и 20:00. Точки $t=11$ и $t=20$ являются нулями функции $T(t)$.
2. Температура была отрицательной ($T<0$), когда график находился ниже оси $t$. Это происходило в начале суток до первого пересечения с осью $t$ и после второго пересечения до конца суток. Таким образом, температура была отрицательной на промежутках $t \in [0; 11)$ и $t \in (20; 24]$.
3. Температура была положительной ($T>0$), когда график находился выше оси $t$. Это происходило между двумя точками пересечения с осью. Таким образом, температура была положительной на промежутке $t \in (11; 20)$.
Ответ: Температура была равной $0^\circ\text{C}$ в 11:00 и 20:00. Температура была отрицательной в периоды с 00:00 до 11:00 и с 20:00 до 24:00. Температура была положительной в период с 11:00 до 20:00.