Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (2) На рисунке ниже изображен график функции $y=f(x)$. Исследовать функцию $f(x)$.

1. Область определения функции. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Судя по графику, функция определена на отрезке от -5 до 5 включительно. Ответ: $D(f) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции. Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Глядя на график, видим, что наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее равно 2. Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.

3. Нули функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс. Из графика видно, что это точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. Ответ: $x = -4, x = 0, x = 2$.

4. Промежутки знакопостоянства. Определим промежутки, где функция положительна ($f(x)>0$) и где отрицательна ($f(x)<0$). Функция положительна (график выше оси $Ox$) на промежутках $x \in [-5; -4)$ и $x \in (2; 5]$. Функция отрицательна (график ниже оси $Ox$) на промежутках $x \in (-4; 0)$ и $x \in (0; 2)$. Ответ: $f(x)>0$ при $x \in [-5; -4) \cup (2; 5]$; $f(x)<0$ при $x \in (-4; 0) \cup (0; 2)$.

5. Четность и нечетность. Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат. Данный график не обладает ни одним из видов симметрии. Например, $f(2)=0$, а $f(-2)=-2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: функция общего вида.

6. Промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает на промежутках, где график идет вверх (слева направо), и убывает, где график идет вниз. Функция возрастает на промежутках $x \in [-2; 0]$ и $x \in [1; 5]$. Функция убывает на промежутках $x \in [-5; -2]$ и $x \in [0; 1]$. Ответ: функция возрастает при $x \in [-2; 0] \cup [1; 5]$, убывает при $x \in [-5; -2] \cup [0; 1]$.

7. Точки экстремума. Точки экстремума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки максимума) или убывание сменяется возрастанием (точки минимума).
Точка локального максимума: $x_{max} = 0$, значение в этой точке $f(0) = 0$.
Точки локального минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 1$, значения в этих точках $f(-2) = -2$ и $f(1) = -1$.Ответ: точка максимума $x=0$; точки минимума $x=-2, x=1$.

8. Наибольшее и наименьшее значения функции. На всей области определения $[-5; 5]$ наибольшее значение функции достигается в точках $x=-5$ и $x=5$ и равно 2. Наименьшее значение достигается в точке $x=-2$ и равно -2. Ответ: $y_{наиб} = 2$, $y_{наим} = -2$.

2. (2) На рисунке ниже изображен график функции $y=h(x)$. Исследовать функцию $h(x)$. Дополнительно указать множества, на которых функция является невозрастающей, неубывающей.

Проведем полное исследование функции $y=h(x)$, заданной графически.

1. Область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Судя по графику, функция определена на отрезке от -5 до 5 включительно.

Ответ: $D(h) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение функции достигается в точке $x=-2$ и равно -2. Наибольшее значение достигается в точке $x=-5$ и равно 4.

Ответ: $E(h) = [-2; 4]$.

3. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($h(x)=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).

Из графика видно, что $h(x)=0$ в точках $x=-3$ и $x=0$.

Третья точка пересечения находится на отрезке с концами в точках $(4, 2)$ и $(5, -1)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки: $y - 2 = \frac{-1 - 2}{5 - 4}(x - 4)$, что упрощается до $y = -3(x - 4) + 2$ или $y = -3x + 14$. Приравняв $y$ к нулю, получим $0 = -3x + 14$, откуда $x = 14/3$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 14/3$.

4. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

Функция положительна ($h(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $x \in [-5; -3)$ и $x \in (0; 14/3)$.

Функция отрицательна ($h(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $x \in (-3; 0)$ и $x \in (14/3; 5]$.

Ответ: функция положительна при $x \in [-5; -3) \cup (0; 14/3)$; функция отрицательна при $x \in (-3; 0) \cup (14/3; 5]$.

5. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция возрастает, убывает или является постоянной.

Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$.

Функция убывает на промежутках $[-5; -2]$ и $[4; 5]$.

Функция является постоянной на промежутке $[2; 4]$.

Ответ: функция возрастает на $[-2; 2]$; убывает на $[-5; -2]$ и $[4; 5]$; постоянна на $[2; 4]$.

6. Экстремумы функции

Экстремумы — это точки локального максимума и минимума функции.

Точка локального минимума: $x_{min}=-2$. Значение в точке минимума: $h(-2) = -2$.

Точки локального максимума: $x_{max}=-5$ и все точки на отрезке $x \in [2; 4]$. Значения в точках максимума: $h(-5)=4$ и $h(x)=2$ для $x \in [2; 4]$.

Наибольшее значение функции на всей области определения: $max_{x \in [-5;5]} h(x) = h(-5) = 4$.

Наименьшее значение функции на всей области определения: $min_{x \in [-5;5]} h(x) = h(-2) = -2$.

Ответ: точка минимума $x_{min}=-2$, значение $h_{min}=-2$. Точки максимума $x_{max}=-5$ (значение 4) и $x \in [2; 4]$ (значение 2). Наибольшее значение функции равно 4, наименьшее — -2.

7. Четность и нечетность

Область определения $D(h)=[-5; 5]$ симметрична относительно нуля. Однако, $h(4) = 2$ и $h(-4) = -2(-4)-6 = 2$, то есть $h(-4)=h(4)$. Но при этом $h(2)=2$ и $h(-2)=-2$, то есть $h(-2)=-h(2)$. Поскольку ни условие четности $h(-x)=h(x)$, ни условие нечетности $h(-x)=-h(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

8. Множества, на которых функция является невозрастающей, неубывающей

Функция является невозрастающей, если для любых $x_1 < x_2$ из этого множества выполняется $h(x_1) \geq h(x_2)$. Это объединение промежутков убывания и постоянства. Функция убывает на $[-5; -2]$ и $[4; 5]$, и постоянна на $[2; 4]$. Таким образом, она невозрастающая на множествах $[-5; -2]$ и $[2; 5]$.

Функция является неубывающей, если для любых $x_1 < x_2$ из этого множества выполняется $h(x_1) \leq h(x_2)$. Это объединение промежутков возрастания и постоянства. Функция возрастает на $[-2; 2]$ и постоянна на $[2; 4]$. Таким образом, она неубывающая на множестве $[-2; 4]$.

Ответ: функция является невозрастающей на множествах $[-5; -2]$ и $[2; 5]$; функция является неубывающей на множестве $[-2; 4]$.

3. (2) На рисунке ниже изображен график функции $y=S(t)$, где $S(t)$ - расстояние от экскурсионного автобуса до пункта $A$. По оси $Ot$ одно деление соответствует 0,5 часа, по оси $OS$ одно деление соответствует 10 км.

Ответьте на следующие вопросы:

а) на какое наибольшее расстояние от пункта $A$ удалялся автобус?

б) сколько остановок было совершено во время экскурсии, указать продолжительность каждой остановки;

в) какое время занимает вся экскурсия;

г) если считать, что первая остановка была совершена в пункте $B$, а вторая в пункте $C$, то чему равны скорости автобуса на участках $AB$ и $BC$?

а) Чтобы найти наибольшее расстояние, на которое автобус удалился от пункта А, необходимо найти максимальное значение функции $S(t)$ на графике. Это значение соответствует самой высокой точке графика по оси OS (расстояние).
Самая высокая точка графика находится на уровне 6 делений от оси времени. Поскольку одно деление по оси OS соответствует 10 км, наибольшее расстояние составляет:
$S_{max} = 6 \text{ делений} \cdot 10 \frac{\text{км}}{\text{деление}} = 60 \text{ км}$.
Ответ: 60 км.

б) Остановка автобуса на графике изображается горизонтальным участком, так как во время остановки расстояние $S$ от пункта А не изменяется (время $t$ идет, а расстояние $S$ остается постоянным).
На графике есть три таких горизонтальных участка, следовательно, было совершено 3 остановки.
Найдем продолжительность каждой из них, учитывая, что по оси Ot одно деление равно 0,5 часа.
1. Первая остановка: длится 1 деление по оси времени (с 4-го по 5-е деление). Продолжительность: $1 \cdot 0,5 \text{ ч} = 0,5$ часа.
2. Вторая остановка: длится 2 деления по оси времени (с 7-го по 9-е деление). Продолжительность: $2 \cdot 0,5 \text{ ч} = 1$ час.
3. Третья остановка: длится 1 деление по оси времени (с 11-го по 12-е деление). Продолжительность: $1 \cdot 0,5 \text{ ч} = 0,5$ часа.
Ответ: было совершено 3 остановки продолжительностью 0,5 часа, 1 час и 0,5 часа.

в) Вся экскурсия занимает время от начала движения ($t=0$) до момента возвращения автобуса в пункт А (когда расстояние $S$ снова становится равным 0).
Из графика видно, что автобус возвращается в точку $S=0$ в момент времени, соответствующий 15 делениям по оси Ot.
Общее время экскурсии: $15 \text{ делений} \cdot 0,5 \frac{\text{ч}}{\text{деление}} = 7,5$ часов.
Ответ: 7,5 часов.

г) Скорость движения на участке вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ — изменение расстояния, а $\Delta t$ — изменение времени.
Участок AB — это движение от пункта А (начало координат) до первой остановки (пункт В).
Начало движения (точка А): $t_A = 0$ ч, $S_A = 0$ км.
Начало первой остановки (точка В): $t_B = 4 \text{ деления} \cdot 0,5 \text{ ч} = 2$ ч; $S_B = 4 \text{ деления} \cdot 10 \text{ км} = 40$ км.
Скорость на участке AB: $v_{AB} = \frac{S_B - S_A}{t_B - t_A} = \frac{40 \text{ км} - 0 \text{ км}}{2 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.
Участок BC — это движение от конца первой остановки до начала второй остановки (пункт С).
Конец первой остановки: $t_1 = 5 \text{ делений} \cdot 0,5 \text{ ч} = 2,5$ ч; $S_1 = 4 \text{ деления} \cdot 10 \text{ км} = 40$ км.
Начало второй остановки (точка C): $t_C = 7 \text{ делений} \cdot 0,5 \text{ ч} = 3,5$ ч; $S_C = 6 \text{ делений} \cdot 10 \text{ км} = 60$ км.
Скорость на участке BC: $v_{BC} = \frac{S_C - S_1}{t_C - t_1} = \frac{60 \text{ км} - 40 \text{ км}}{3,5 \text{ ч} - 2,5 \text{ ч}} = \frac{20 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 20$ км/ч.
Ответ: скорость автобуса на участке AB равна 20 км/ч, на участке BC также равна 20 км/ч.