Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

5. Вычислите: $\sin \alpha + \cos \alpha$, если $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 3$.

Для вычисления значения выражения $\sin\alpha + \cos\alpha$ воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки. Эти формулы выражают тригонометрические функции угла $\alpha$ через тангенс половинного угла $\frac{\alpha}{2}$. Обозначим $t = \tg\frac{\alpha}{2}$.

Формулы имеют следующий вид:

$\sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos\alpha = \frac{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Согласно условию задачи, $\tg\frac{\alpha}{2} = 3$. Таким образом, $t = 3$.

Теперь подставим это значение в формулы для $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.

Вычисляем значение $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Вычисляем значение $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

Наконец, находим сумму $\sin\alpha + \cos\alpha$:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{3}{5} + \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{3-4}{5} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

6. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на два дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала каждая бригада?

Пусть $x$ — количество деревьев, которые вторая бригада высаживала ежедневно (производительность второй бригады). Тогда первая бригада ежедневно высаживала $x + 40$ деревьев.

Время, за которое первая бригада посадила 270 деревьев, составляет $t_1 = \frac{270}{x+40}$ дней.

Время, за которое вторая бригада посадила 250 деревьев, составляет $t_2 = \frac{250}{x}$ дней.

По условию задачи, вторая бригада работала на два дня больше первой, следовательно, $t_2 = t_1 + 2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{250}{x} = \frac{270}{x+40} + 2$

Для решения приведем все члены к общему знаменателю $x(x+40)$. Так как $x$ обозначает количество деревьев, высаживаемых в день, то $x > 0$.

$250(x+40) = 270x + 2x(x+40)$

$250x + 10000 = 270x + 2x^2 + 80x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 270x + 80x - 250x - 10000 = 0$

$2x^2 + 100x - 10000 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 50x - 5000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5000) = 2500 + 20000 = 22500$

$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-50 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-50 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-200}{2} = -100$

Поскольку $x$ представляет собой производительность, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x = 50$.

Таким образом, производительность второй бригады — 50 деревьев в день.

Теперь найдем, сколько дней работала каждая бригада.

Время работы второй бригады: $t_2 = \frac{250}{50} = 5$ дней.

Производительность первой бригады: $50 + 40 = 90$ деревьев в день.

Время работы первой бригады: $t_1 = \frac{270}{90} = 3$ дня.

Проверка: вторая бригада работала на $5 - 3 = 2$ дня больше, что соответствует условию.

Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада — 5 дней.

7. Вычислите

$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}$

Для того чтобы вычислить значение данного бесконечного вложенного радикала, обозначим все выражение переменной $x$.

$x = \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7...}}}}$

Ключевой особенностью этого выражения является то, что оно бесконечно и самоподобно. Это означает, что выражение под первым знаком корня также равно исходному выражению $x$. Мы можем это записать так:

$x = \sqrt{7 \cdot (\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7...}}})}$

Заменив бесконечную часть на $x$, мы получим простое уравнение:

$x = \sqrt{7x}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. Важно отметить, что значение исходного выражения должно быть положительным числом (поскольку это арифметический квадратный корень), поэтому нас интересует только решение $x > 0$.

$x^2 = (\sqrt{7x})^2$

$x^2 = 7x$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Это уравнение имеет два возможных корня:

1. $x = 0$

2. $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$

Поскольку исходное выражение $\sqrt{7...}$ очевидно больше нуля, корень $x = 0$ является посторонним и не подходит в качестве решения. Таким образом, единственное верное решение — это $x = 7$.

Ответ: 7

8. Для организации школьной дискотеки старый глобус обклеивают одинаковыми маленькими зеркальными кусочками. Понадобилось 1000 таких кусочков. Сколько бы таких кусочков (приблизительно) понадобилось, если бы диаметр глобуса был в 2 раза больше?

Чтобы решить эту задачу, необходимо понять, как количество зеркальных кусочков, необходимых для оклейки глобуса, зависит от его размеров. Глобус представляет собой сферу. Поскольку все зеркальные кусочки одинаковы, их общее количество прямо пропорционально площади поверхности глобуса.

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4 \pi R^2$, где $R$ — это радиус сферы.

Диаметр сферы $D$ связан с её радиусом $R$ соотношением $D = 2R$, из чего следует, что $R = D/2$. Мы можем выразить площадь поверхности через диаметр:

$S = 4 \pi (D/2)^2 = 4 \pi (D^2/4) = \pi D^2$.

Эта формула показывает, что площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату её диаметра.

Обозначим параметры исходного глобуса индексом 1, а нового (увеличенного) — индексом 2.

Для исходного глобуса с диаметром $D_1$ и площадью поверхности $S_1$ понадобилось $N_1 = 1000$ кусочков.

Для нового глобуса диаметр, по условию, в 2 раза больше: $D_2 = 2 \cdot D_1$.

Найдем, как изменится площадь поверхности. Составим отношение площадей нового и старого глобусов:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi D_2^2}{\pi D_1^2} = \frac{\pi (2 \cdot D_1)^2}{\pi D_1^2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot D_1^2}{\pi D_1^2} = 4$.

Таким образом, площадь поверхности нового глобуса в 4 раза больше площади поверхности старого глобуса.

Так как количество необходимых кусочков ($N$) прямо пропорционально площади поверхности ($S$), то и кусочков для нового глобуса понадобится в 4 раза больше:

$N_2 = N_1 \cdot 4 = 1000 \cdot 4 = 4000$.

Ответ: 4000.