gdz.top
Номер 3, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Повторение. Серия 4 - номер 3, страница 8.
№2
№3 (с. 8)
Условие. №3 (с. 8)
3. Докажите тождество $ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha} $
Решение 2 (rus). №3 (с. 8)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть $ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin(2\alpha)} $.
Используем формулу косинуса двойного угла для числителя: $ 1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $.
Для знаменателя используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ 1 + \sin(2\alpha) = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.
Подставив преобразованные выражения в исходную дробь, получаем:
$ \frac{\cos(2\alpha)}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.
Теперь представим косинус двойного угла в числителе как разность квадратов: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha) $.
Дробь принимает вид:
$ \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} $.
Сокращаем дробь на общий множитель $ (\cos\alpha + \sin\alpha) $ (при условии, что $ \cos\alpha + \sin\alpha \neq 0 $, что соответствует области определения правой части тождества):
$ \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} $.
Для получения правой части тождества, разделим числитель и знаменатель полученного выражения на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $, что необходимо для существования $ \tan\alpha $):
$ \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha} $.
В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 8 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 8), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.