Номер 8, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Найдите область определения следующих функций:

а) $f(x) = \frac{1}{x};$

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = \sqrt{-x};$

г) $f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

е) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x};$

ж) $f(x) = \sqrt{\frac{1 - x^2}{x}};$

з) $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{x}}.$

а) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Для функции $f(x)=\frac{1}{x}$ знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Для функции $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ знаменатель дроби не должен равняться нулю. Необходимо найти значения $x$, при которых $x^2-1=0$. Решая уравнение, получаем $x^2=1$, откуда $x=1$ и $x=-1$. Таким образом, область определения — это все действительные числа, за исключением $1$ и $-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

в) Для функции $f(x)=\sqrt{-x}$ выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство $-x \ge 0$. Умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $x \le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$

г) Для функции $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство $1-x^2 \ge 0$. Это неравенство можно переписать как $x^2 \le 1$, что эквивалентно $|x| \le 1$. Таким образом, $x$ должен находиться в пределах от $-1$ до $1$, включая концы отрезка.
Ответ: $x \in [-1; 1]$

д) Для функции $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ выражение под знаком корня должно быть строго положительным, поскольку корень находится в знаменателе дроби, который не может быть равен нулю. Следовательно, решаем неравенство $1-x^2 > 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 1$, или $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$

е) Для функции $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ должны выполняться два условия одновременно:
1) Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$, что дает $x \in [-1; 1]$.
2) Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Объединяя эти условия, мы должны исключить точку $x=0$ из отрезка $[-1; 1]$.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$

ж) Для функции $f(x)=\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Решаем неравенство $\frac{1-x^2}{x} \ge 0$. Для решения используем метод интервалов. Находим нули числителя ($1-x^2=0 \implies x=\pm1$) и нуль знаменателя ($x=0$). Эти точки делят числовую ось на интервалы. Проверяя знак дроби на каждом интервале, находим, что она положительна при $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (0; 1)$. Так как неравенство нестрогое, включаем нули числителя. Нуль знаменателя всегда исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (0; 1]$

з) Для функции $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{x}}$ должны выполняться два условия:
1) Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0 \implies x \in [-1; 1]$.
2) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x > 0$.
Область определения является пересечением множеств, удовлетворяющих этим двум условиям: $x \in [-1; 1] \cap (0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1]$