Номер 12, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) Найдите область определения и множество значений функции:

а) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$

б) $y=-x^2+4x+5$

в) $y=(-x^2+4x+5)^{-2}$

а) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$

Область определения ($D(y)$):
Функция представляет собой квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 + 2x + 3 \ge 0$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 3 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.
Область определения функции — все действительные числа.

Множество значений ($E(y)$):
Чтобы найти множество значений функции, найдем минимальное значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 + 2x + 3$. Для этого выделим полный квадрат:
$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 3 = (x+1)^2 + 2$.
Наименьшее значение выражения $(x+1)^2$ равно 0 (при $x = -1$). Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно $0 + 2 = 2$.
Таким образом, подкоренное выражение принимает значения из промежутка $[2; +\infty)$.
Функция $y = \sqrt{g(x)}$ является возрастающей, поэтому ее множество значений будет $[\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $y = -x^2 + 4x + 5$

Область определения ($D(y)$):
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), который определен для любых действительных значений $x$.
Область определения функции — все действительные числа.

Множество значений ($E(y)$):
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Следовательно, функция имеет максимальное значение в своей вершине.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Найдем максимальное значение функции, подставив $x_в = 2$:
$y_в = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения, не превышающие ее максимума.
Множество значений функции: $(-\infty; 9]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; 9]$.

в) $y = (-x^2 + 4x + 5)^{-2}$

Область определения ($D(y)$):
Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{(-x^2 + 4x + 5)^2}$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$-x^2 + 4x + 5 \neq 0$.
Решим уравнение $-x^2 + 4x + 5 = 0$ (умножим на -1):
$x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Область определения функции: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)$.

Множество значений ($E(y)$):
Пусть $g(x) = -x^2 + 4x + 5$. Из пункта б) мы знаем, что множество значений этой функции $E(g) = (-\infty; 9]$.
Наша функция имеет вид $y = (g(x))^{-2} = \frac{1}{(g(x))^2}$.
Из-за ограничений области определения, $g(x) \neq 0$. Таким образом, основание степени $g(x)$ может принимать любые значения из множества $(-\infty; 0) \cup (0; 9]$.
Рассмотрим, какие значения принимает $y$:
1. Когда $g(x)$ принимает значения из интервала $(0; 9]$, выражение $(g(x))^2$ принимает значения из $(0; 81]$. Тогда $y = \frac{1}{(g(x))^2}$ принимает значения из $[\frac{1}{81}; +\infty)$. Минимальное значение $y = 1/81$ достигается при $g(x)=9$ (то есть при $x=2$). Когда $g(x) \to 0^+$, $y \to +\infty$.
2. Когда $g(x)$ принимает значения из интервала $(-\infty; 0)$, выражение $(g(x))^2$ принимает значения из $(0; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{(g(x))^2}$ также принимает значения из $(0; +\infty)$. Когда $g(x) \to -\infty$, $y \to 0^+$. Когда $g(x) \to 0^-$, $y \to +\infty$.
Объединяя множества значений из обоих случаев, получаем:
$[\frac{1}{81}; +\infty) \cup (0; +\infty) = (0; +\infty)$.
Таким образом, функция может принимать любое положительное значение.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)$, множество значений $E(y) = (0; +\infty)$.