Номер 11, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2) Найдите область определения функции:

а) $f(x)=\sqrt{2+x};$

б) $f(x)=\sqrt{3x+9};$

в) $f(x)=\frac{\sqrt{3x+9}}{\sqrt{2+x}};$

г) $f(x)=\sqrt{\frac{3x+9}{2+x}};$

д) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}-\sqrt{-x};$

е) $f(x)=\sqrt{|x|};$

ж) $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-9}.$

а) Область определения функции $f(x)=\sqrt{2+x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$2+x \ge 0$
$x \ge -2$
Таким образом, область определения — это все числа, большие или равные -2.
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

б) Для функции $f(x)=\sqrt{3x+9}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$3x+9 \ge 0$
$3x \ge -9$
$x \ge -3$
Область определения — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

в) Функция $f(x)=\frac{\sqrt{3x+9}}{\sqrt{2+x}}$ определена, когда выполняются два условия одновременно:
1. Выражение под корнем в числителе неотрицательно: $3x+9 \ge 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе строго положительно (так как деление на ноль недопустимо): $2+x > 0$.
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x+9 \ge 0 \\ 2+x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge -9 \\ x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -3 \\ x > -2 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x > -2$.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) Для функции $f(x)=\sqrt{\frac{3x+9}{2+x}}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Решим рациональное неравенство методом интервалов:
$\frac{3x+9}{2+x} \ge 0$
Найдем нули числителя: $3x+9=0 \implies x=-3$.
Найдем нули знаменателя: $2+x=0 \implies x=-2$. Точка $x=-2$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Нанесем точки -3 (включительно) и -2 (выколота) на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{3(-4)+9}{2-4} = \frac{-3}{-2} > 0$;
- при $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{3(-2.5)+9}{2-2.5} = \frac{1.5}{-0.5} < 0$;
- при $x > -2$ (например, $x=0$): $\frac{9}{2} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (-2; +\infty)$.

д) Область определения функции $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}-\sqrt{-x}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2+2x-3 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Парабола $y=x^2+2x-3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
2. Для второго слагаемого $\sqrt{-x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$.
То есть, $x \in (-\infty; 0]$.
3. Найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty; -3) \cup (1; +\infty)) \cap (-\infty; 0]$.
Пересечением является промежуток $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

е) Для функции $f(x)=\sqrt{|x|}$ выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным.
$|x| \ge 0$
Модуль любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, поэтому это неравенство выполняется для всех действительных $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

ж) Для функции $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-9}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$-x^2+6x-9 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2-6x+9 \le 0$
Левая часть является полным квадратом разности:
$(x-3)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Единственный случай, когда это неравенство выполняется, — это когда выражение равно нулю.
$(x-3)^2 = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$.
Следовательно, функция определена только в одной точке.
Ответ: $x=3$.