Номер 9, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2) Приведите примеры функциональной зависимости одних физических величин от других. В чем причины такой зависимости? Что является аргументом и что – значением в приведенных вами примерах. Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений. Как изменяется значение функции при изменении аргумента? Обоснуйте свои результаты в тетради.

Функциональная зависимость в физике — это математическое выражение, которое показывает, как одна физическая величина (значение функции) изменяется в зависимости от изменения другой физической величины (аргумента). Такие зависимости возникают из-за фундаментальных законов природы, которые связывают различные явления и их характеристики.

Рассмотрим два примера.

Пример 1: Зависимость пройденного пути от времени при равномерном прямолинейном движении.

Функциональная зависимость выражается формулой: $s(t) = v \cdot t$, где $s$ — пройденный путь, $t$ — время движения, а $v$ — постоянная скорость.

В чем причины такой зависимости?

Причина заключается в самом определении равномерного движения: тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния. Эта физическая закономерность математически описывается как прямая пропорциональность между пройденным путем и временем движения.

Что является аргументом и что — значением в приведенных вами примерах?

В данном случае аргументом является время $t$, так как это независимая переменная, от которой зависит пройденный путь. Значением функции является путь $s$, так как его величина определяется тем, сколько времени двигалось тело. Скорость $v$ выступает в роли постоянного коэффициента (параметра), который характеризует конкретное движение.

Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений.

Область определения (допустимые значения аргумента $t$): Время в физических задачах не может быть отрицательным. Отсчет начинается с момента $t=0$. Следовательно, область определения — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0, +\infty)$.

Множество значений (допустимые значения функции $s$): Поскольку скорость $v$ (как модуль) и время $t$ неотрицательны, пройденный путь $s$ также не может быть отрицательным. Множество значений — это также луч $[0, +\infty)$.

Как изменяется значение функции при изменении аргумента?

Зависимость $s(t)$ является линейной (прямая пропорциональность). Это означает, что при увеличении аргумента (времени $t$) в $k$ раз, значение функции (путь $s$) увеличивается во столько же раз. Например, если увеличить время движения в 2 раза, то и пройденный путь увеличится в 2 раза.

Обоснуйте свои результаты в тетради.

Результаты обосновываются базовым определением равномерного движения. Математическая модель $s(t) = v \cdot t$ является линейной функцией, свойства которой (пропорциональный рост, график — прямая линия из начала координат) полностью соответствуют физическому процессу. Ограничения на область определения ($t \ge 0$) и множество значений ($s \ge 0$) вытекают из физического смысла этих величин.

Ответ: В примере с равномерным движением путь $s$ функционально зависит от времени $t$ по закону $s(t) = v \cdot t$. Аргументом является время $t \in [0, +\infty)$, значением — путь $s \in [0, +\infty)$. Зависимость является линейной: увеличение времени приводит к пропорциональному увеличению пути.

Пример 2: Зависимость кинетической энергии от скорости тела.

Функциональная зависимость выражается формулой: $E_k(v) = \frac{m v^2}{2}$, где $E_k$ — кинетическая энергия тела, $v$ — его скорость, а $m$ — постоянная масса тела.

В чем причины такой зависимости?

Причина — в определении кинетической энергии как энергии движения. Физический закон гласит, что энергия, которой обладает движущееся тело, пропорциональна его массе и квадрату его скорости.

Что является аргументом и что — значением в приведенных вами примерах?

Аргументом является скорость тела $v$, так как это независимая переменная, от которой мы хотим узнать энергию. Значением функции является кинетическая энергия $E_k$, которая зависит от скорости. Масса $m$ является постоянным параметром для данного тела.

Постарайтесь понять, какова область определения и множество значений.

Область определения (допустимые значения аргумента $v$): Скорость (ее модуль, или скалярное значение) не может быть отрицательной. В рамках классической механики она может принимать любые значения от 0 до очень больших величин. Таким образом, область определения — это луч $[0, +\infty)$. (В релятивистской физике скорость ограничена скоростью света $c$).

Множество значений (допустимые значения функции $E_k$): Так как масса $m$ всегда положительна, а квадрат скорости $v^2$ всегда неотрицателен, кинетическая энергия $E_k$ не может быть отрицательной. Множество значений — это луч $[0, +\infty)$.

Как изменяется значение функции при изменении аргумента?

Зависимость $E_k(v)$ является квадратичной. Это означает, что значение функции изменяется непропорционально изменению аргумента. При увеличении скорости $v$ в $k$ раз, кинетическая энергия $E_k$ увеличивается в $k^2$ раз. Например, если увеличить скорость в 2 раза, энергия возрастет в $2^2 = 4$ раза. Если увеличить скорость в 3 раза, энергия возрастет в $3^2 = 9$ раз.

Обоснуйте свои результаты в тетради.

Выводы основаны на фундаментальной формуле кинетической энергии. Математически это квадратичная функция вида $y = ax^2$ (где $a = m/2$), график которой — парабола с ветвями вверх, выходящая из начала координат. Нелинейный рост энергии при увеличении скорости — ключевое свойство этой зависимости, объясняющее, например, почему разрушительная сила при столкновениях так резко возрастает с увеличением скорости. Физический смысл величин ($v \ge 0, m > 0$) определяет область определения и множество значений ($E_k \ge 0$).

Ответ: В примере с кинетической энергией, энергия $E_k$ функционально зависит от скорости $v$ по закону $E_k(v) = \frac{m v^2}{2}$. Аргументом является скорость $v \in [0, +\infty)$, значением — энергия $E_k \in [0, +\infty)$. Зависимость является квадратичной: увеличение скорости в $k$ раз приводит к увеличению энергии в $k^2$ раз.