Номер 10, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) На рисунке 5 изображены графики функций $f(x)$ и $g(x)$, $D(f):[-2;6]$, $D(g):[-1;7]$.

а) Решите уравнение

$f(x)=g(x)$.

б) Решите уравнения

$f(x)=\frac{1}{2}$, $g(x)=0$, $f(x)=\frac{1}{2}$.

в) Решите неравенства

$f(x)>\frac{1}{2}$, $g(x) \le 0$.

г) Решите неравенства

$f(x)g(x)$.

д) Решите систему неравенств

е) Решите систему неравенств

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках. Абсцисса первой точки пересечения $x_1=0$. Абсцисса второй точки пересечения, судя по рисунку, $x_2=2$.

Ответ: $x=0; x=2$.

б) Решите уравнения $f(x)=1\frac{1}{2}$, $g(x)=0$, $f(x)=\frac{1}{2}$

Для решения данных уравнений находим абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций с горизонтальными прямыми или с осью абсцисс.
1. Уравнение $f(x)=1\frac{1}{2}$ или $f(x)=1.5$. Проводим горизонтальную прямую $y=1.5$ и находим точки ее пересечения с графиком $f(x)$. Таких точек две, их абсциссы: $x=-1$ и $x=4$.
2. Уравнение $g(x)=0$. Находим точки пересечения графика $g(x)$ с осью $Ox$. Первая точка находится на отрезке $[-1, 1]$. Уравнение прямой на этом отрезке: $g(x)=2x+1$. Решая $2x+1=0$, получаем $x=-0.5$. Вторая точка находится на отрезке $[1, 7]$. Уравнение прямой на этом отрезке: $g(x)=-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}$. Решая $-\frac{5}{6}x+\frac{23}{6}=0$, получаем $5x=23$, откуда $x=4.6$.
3. Уравнение $f(x)=\frac{1}{2}$ или $f(x)=0.5$. Из графика видно, что минимальное значение функции $f(x)$ на всей области определения равно 1. Следовательно, прямая $y=0.5$ не пересекает график $f(x)$, и уравнение не имеет решений.

Ответ: для $f(x)=1\frac{1}{2}$ решения $x=-1, x=4$; для $g(x)=0$ решения $x=-0.5, x=4.6$; для $f(x)=\frac{1}{2}$ решений нет.

в) Решите неравенства $f(x)>1\frac{1}{2}$, $g(x)\le0$

1. Неравенство $f(x)>1\frac{1}{2}$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится выше прямой $y=1.5$. Мы уже нашли, что $f(x)=1.5$ при $x=-1$ и $x=4$. Из графика видно, что $f(x)>1.5$ при $x \in [-2, -1)$ и при $x \in (4, 6]$.

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (4, 6]$.

2. Неравенство $g(x)\le0$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $g(x)$ находится на оси $Ox$ или ниже нее. Мы нашли, что $g(x)=0$ при $x=-0.5$ и $x=4.6$. Из графика видно, что $g(x)\le0$ на промежутках, где $x$ от $-1$ до $-0.5$ включительно, и от $4.6$ включительно до конца области определения.

Ответ: $x \in [-1, -0.5] \cup [4.6, 7]$.

г) Решите неравенства $f(x)g(x)$

1. Неравенство $f(x)

Ответ: $x \in (0, 2)$.

2. Неравенство $f(x)>g(x)$. Решением являются значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится выше графика функции $g(x)$. Это происходит на всей общей области определения $[-1, 6]$ за исключением отрезка $[0, 2]$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (2, 6]$.

д) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x)\ge\frac{3}{2}, \\ g(x)>0. \end{cases}$

Найдём решения для каждого неравенства и затем их пересечение.
1. $f(x)\ge\frac{3}{2}$ (или $f(x)\ge1.5$). Из пункта (в) следует, что решением является $x \in [-2, -1] \cup [4, 6]$.
2. $g(x)>0$. Из пункта (в) мы знаем, что $g(x)\le0$ на $x \in [-1, -0.5] \cup [4.6, 7]$. Следовательно, $g(x)>0$ на остальной части области определения $D(g)=[-1, 7]$, то есть при $x \in (-0.5, 4.6)$.
3. Найдём пересечение множеств решений: $([-2, -1] \cup [4, 6]) \cap (-0.5, 4.6)$. Пересечение первого интервала $[-2, -1]$ с $(-0.5, 4.6)$ пусто. Пересечение второго интервала $[4, 6]$ с $(-0.5, 4.6)$ дает $[4, 4.6)$.

Ответ: $x \in [4, 4.6)$.

е) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x)

Найдём решения для каждого неравенства и затем их пересечение.
1. $f(x)2. $f(x)\le\frac{3}{2}$ (или $f(x)\le1.5$). Это неравенство выполняется там, где не выполняется строгое неравенство $f(x)>1.5$. Из пункта (в) мы знаем, что $f(x)>1.5$ при $x \in [-2, -1) \cup (4, 6]$. На области определения $D(f)=[-2, 6]$ решением $f(x)\le1.5$ будет $x \in [-1, 4]$.
3. Найдём пересечение множеств решений: $(0, 2) \cap [-1, 4]$. Пересечением является интервал $(0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.