Номер 4, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) Функция $y=\text{sgn }x$ (знак числа $x$) определяется следующим образом:

$\text{sgn }x = \begin{cases} 0, & \text{если } x = 0; \\ \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0. \end{cases}$

а) Постройте график функции. Найдите область определения функции и множество ее значений.

б) Определите $\lim_{x\to+\infty} (\text{sgn }x)$, $\lim_{x\to-\infty} (\text{sgn }x)$.

в) Определите $\lim_{x\to+0} (\text{sgn }x)$, $\lim_{x\to-0} (\text{sgn }x)$.

Функция $y = \text{sign } x$ (знак числа $x$) задана следующим образом: $ \text{sign } x = \begin{cases} 0, & \text{если } x=0 \\ \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \end{cases} $

Раскроем модуль в знаменателе для $x \neq 0$:
- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{x} = 1$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{-x} = -1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции: $ y = \text{sign } x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $

График этой функции состоит из трех частей: горизонтального луча $y=1$ на интервале $(0, +\infty)$; точки в начале координат $(0,0)$; и горизонтального луча $y=-1$ на интервале $(-\infty, 0)$. Точки $(0,1)$ и $(0,-1)$ не принадлежат графику, их обычно изображают выколотыми (пустыми кружками).

Область определения функции: Функция определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Множество значений функции: Функция может принимать только три значения: -1, 0 и 1. Следовательно, множество значений $E(y) = \{-1; 0; 1\}$.

Ответ: График функции состоит из луча $y=-1$ для $x<0$, точки $(0,0)$ и луча $y=1$ для $x>0$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(y) = \{-1; 0; 1\}$.

Определим предел функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Когда $x \to +\infty$, мы рассматриваем произвольно большие положительные значения $x$. Для любого $x > 0$ значение функции $\text{sign } x = 1$. Таким образом, предел константы равен самой константе: $ \lim_{x \to +\infty} (\text{sign } x) = \lim_{x \to +\infty} 1 = 1 $

Определим предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Когда $x \to -\infty$, мы рассматриваем отрицательные значения $x$ с произвольно большим модулем. Для любого $x < 0$ значение функции $\text{sign } x = -1$. Таким образом: $ \lim_{x \to -\infty} (\text{sign } x) = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 $

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} (\text{sign } x) = 1 $, $ \lim_{x \to -\infty} (\text{sign } x) = -1 $.

Определим правосторонний предел в точке $x=0$. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0+0$), мы рассматриваем значения $x$, которые становятся сколь угодно близки к нулю, оставаясь положительными ($x > 0$). Для всех таких $x$ значение функции $\text{sign } x = 1$. Следовательно: $ \lim_{x \to 0+0} (\text{sign } x) = \lim_{x \to 0+} 1 = 1 $

Определим левосторонний предел в точке $x=0$. Когда $x$ стремится к нулю слева ($x \to 0-0$), мы рассматриваем значения $x$, которые становятся сколь угодно близки к нулю, оставаясь отрицательными ($x < 0$). Для всех таких $x$ значение функции $\text{sign } x = -1$. Следовательно: $ \lim_{x \to 0-0} (\text{sign } x) = \lim_{x \to 0-} (-1) = -1 $

Ответ: $ \lim_{x \to 0+0} (\text{sign } x) = 1 $, $ \lim_{x \to 0-0} (\text{sign } x) = -1 $.