Номер 3, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1) Определите $\lim_{x \to 1+0} \arcsin x$, $\lim_{x \to -1-0} \arcsin x$.

(1)
Для определения указанных односторонних пределов мы воспользуемся свойствами функции арксинус $y = \arcsin x$.

Функция $y = \arcsin x$ определена на отрезке $[-1, 1]$ и является непрерывной на всей этой области определения. Это означает, что для любой внутренней точки $c \in (-1, 1)$ предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to c} \arcsin x = \arcsin c$. На границах области определения, в точках $x=-1$ и $x=1$, функция также непрерывна: она непрерывна справа в точке $x=-1$ и непрерывна слева в точке $x=1$. Это свойство позволяет находить односторонние пределы в этих точках путем прямой подстановки.

Нахождение предела $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x$:
Запись $x \to -1+0$ означает, что $x$ стремится к $-1$ с правой стороны, то есть $x$ принимает значения, которые больше $-1$ (например, -0.9, -0.99, -0.999 и т.д.). Так как функция $\arcsin x$ непрерывна справа в точке $x = -1$, мы можем вычислить предел, подставив значение $x = -1$ в функцию:
$\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = \arcsin(-1)$.
По определению, $\arcsin(-1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = -\frac{\pi}{2}$.

Нахождение предела $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x$:
Запись $x \to 1-0$ означает, что $x$ стремится к $1$ с левой стороны, то есть $x$ принимает значения, которые меньше $1$ (например, 0.9, 0.99, 0.999 и т.д.). Так как функция $\arcsin x$ непрерывна слева в точке $x = 1$, мы можем вычислить предел, подставив значение $x = 1$ в функцию:
$\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \arcsin(1)$.
По определению, $\arcsin(1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x \to -1+0} \arcsin x = -\frac{\pi}{2}$; $\lim_{x \to 1-0} \arcsin x = \frac{\pi}{2}$.