Номер 6, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Исследуйте функцию $y=g(x)$ по ее графику, изображенному на рисунке ниже.

Полное исследование функции $y=g(x)$ по представленному графику включает в себя анализ следующих свойств:

Область определения функции

Область определения — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. График функции построен на отрезке от $x=-4$ до $x=3$. В крайних точках отрезка стоят закрашенные кружки, что означает, что эти точки включены в область определения.

Ответ: $D(g) = [-4; 3]$.

Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Чтобы найти ее, определим наименьшее и наибольшее значение функции на графике. Самая низкая точка графика имеет ординату $y=-3$ (при $x=-4$), а самая высокая — ординату $y=4$ (при $x=3$).

Ответ: $E(g) = [-3; 4]$.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $g(x)=0$. Геометрически это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Из графика видно, что график пересекает ось Ox в двух точках.

Ответ: $x = -3$ и $x = 0$.

Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (строго больше или строго меньше нуля).

Функция положительна ($g(x)>0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это наблюдается на промежутках $(-3; 0)$ и $(0; 3]$.

Функция отрицательна ($g(x)<0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это наблюдается на промежутке $[-4; -3)$.

Ответ: $g(x)>0$ при $x \in (-3; 0) \cup (0; 3]$; $g(x)<0$ при $x \in [-4; -3)$.

Промежутки монотонности (возрастания и убывания)

Определяем по графику, на каких промежутках функция возрастает (график "идет вверх" при движении слева направо) и убывает (график "идет вниз").

Функция возрастает на промежутках: $[-4; -3]$, $[-1; 1]$ и $[2; 3]$.

Функция убывает на промежутках: $[-3; -1]$ и $[1; 2]$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-4; -3]$, $[-1; 1]$, $[2; 3]$; промежутки убывания: $[-3; -1]$, $[1; 2]$.

Точки экстремума и экстремумы функции

Точки экстремума — это внутренние точки области определения, в которых происходит смена характера монотонности функции.

Точки локального максимума (где возрастание сменяется убыванием): $x_{max} = -3$ и $x_{max} = 1$.

Значения функции в этих точках (локальные максимумы): $g(-3)=0$ и $g(1)=2$.

Точки локального минимума (где убывание сменяется возрастанием): $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 2$.

Значения функции в этих точках (локальные минимумы): $g(-1)=-2$ и $g(2)=1$.

Ответ: точки максимума $x=-3, x=1$; максимумы функции $0, 2$. Точки минимума $x=-1, x=2$; минимумы функции $-2, 1$.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 3]$ — это самое большое из всех ее значений. Его следует искать среди локальных максимумов и значений на концах отрезка. Сравниваем: $g(-3)=0$, $g(1)=2$, $g(3)=4$. Наибольшее значение равно 4.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 3]$ — это самое маленькое из всех ее значений. Его следует искать среди локальных минимумов и значений на концах отрезка. Сравниваем: $g(-1)=-2$, $g(2)=1$, $g(-4)=-3$. Наименьшее значение равно -3.

Ответ: $\max_{[-4;3]} g(x) = g(3) = 4$; $\min_{[-4;3]} g(x) = g(-4) = -3$.

Четность/нечетность

Функция является четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $g(-x) = g(x)$. Функция является нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $g(-x) = -g(x)$. Область определения $D(g) = [-4; 3]$ несимметрична, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция общего вида.