Номер 10, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (З) Функция f(x) определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3, & \text{если } x < -1; \\ |x| - 1, & \text{если } -1 \leq x \leq 2; \\ -x^2 + 8x - 18, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Постройте график, исследуйте функцию $y=f(x)$.

Построение графика

Для построения графика функции $f(x)$ рассмотрим каждый из трех участков, на которых она задана.

1. Участок $x < -1$: $y = x^2 + 3$
Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 3)$. Нас интересует только левая часть этой параболы. Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x=-1$: $y(-1) = (-1)^2 + 3 = 4$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, 4)$ будет выколотой (пустой кружок). Для точности построения возьмем еще одну контрольную точку, например, $x=-2$: $y(-2) = (-2)^2 + 3 = 7$. График на этом участке — это ветвь параболы, идущая вверх из точки $(-1, 4)$ и проходящая через точку $(-2, 7)$.

2. Участок $-1 \leq x \leq 2$: $y = |x| - 1$
График этой функции представляет собой "галочку", смещенную на 1 единицу вниз. Раскроем модуль:
• При $-1 \leq x < 0$ функция принимает вид $y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $f(-1) = -(-1)-1 = 0$, то есть $(-1, 0)$, и $f(0) = -0-1 = -1$, то есть $(0, -1)$.
• При $0 \leq x \leq 2$ функция принимает вид $y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $f(0) = 0-1 = -1$, то есть $(0, -1)$, и $f(2) = 2-1 = 1$, то есть $(2, 1)$.
На данном отрезке график состоит из двух соединенных отрезков прямых, образующих ломаную линию с точками $(-1, 0)$, $(0, -1)$ и $(2, 1)$. Точки на концах отрезка, $(-1, 0)$ и $(2, 1)$, включены в график (закрашенные кружки).

3. Участок $x > 2$: $y = -x^2 + 8x - 18$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4$. $y_в = f(4) = -(4)^2 + 8(4) - 18 = -16 + 32 - 18 = -2$. Вершина находится в точке $(4, -2)$. Поскольку $4 > 2$, вершина принадлежит этому участку графика.
Найдем значение на границе интервала, в точке $x=2$: $y(2) = -(2)^2 + 8(2) - 18 = -4 + 16 - 18 = -6$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, -6)$ будет выколотой. График на этом участке — это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(2, -6)$, достигающая максимума в точке $(4, -2)$ и затем убывающая.

Ответ: График функции $f(x)$ представляет собой композицию из трех частей: ветви параболы $y=x^2+3$ на интервале $(-\infty, -1)$; ломаной линии, соединяющей точки $(-1, 0)$, $(0, -1)$ и $(2, 1)$ на отрезке $[-1, 2]$; и ветви параболы $y=-x^2+8x-18$ на интервале $(2, +\infty)$. Функция имеет точки разрыва при $x=-1$ и $x=2$.

Исследование функции

1. Область определения: Функция определена на всех трех указанных промежутках, которые вместе покрывают всю числовую ось.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:
На $(-\infty, -1)$ значения функции лежат в $(4; +\infty)$.
На $[-1, 2]$ значения функции лежат в $[-1; 1]$.
На $(2, +\infty)$ значения функции лежат в $(-\infty; -2]$.
Объединяя эти множества, получаем область значений: $E(f) = (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup (4; +\infty)$.

3. Четность и нечетность: Область определения $D(f)=\mathbb{R}$ симметрична относительно $x=0$. Проверим равенства $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$. Возьмем $x=3$. $f(3) = -3^2+8(3)-18 = -3$. $f(-3) = (-3)^2+3 = 12$. Так как $f(-3) \neq f(3)$ и $f(-3) \neq -f(3)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy: $x=0$ принадлежит отрезку $[-1, 2]$, поэтому $f(0) = |0|-1 = -1$. Точка пересечения: $(0, -1)$.
С осью Ox (нули функции): $f(x)=0$.
• На $(-\infty, -1)$: $x^2+3=0$, нет действительных корней.
• На $[-1, 2]$: $|x|-1=0 \Rightarrow |x|=1 \Rightarrow x=-1$ и $x=1$.
• На $(2, +\infty)$: $-x^2+8x-18=0$. Дискриминант $D=64-72=-8<0$, нет действительных корней.
Нули функции: $x=-1$ и $x=1$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

5. Промежутки знакопостоянства:
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, 2]$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-1, 1) \cup (2, +\infty)$.

6. Промежутки монотонности и точки экстремума:
• Функция возрастает ($f'(x)>0$) на промежутках $[0, 2]$ и $(2, 4]$.
• Функция убывает ($f'(x)<0$) на промежутках $(-\infty, -1)$, $[-1, 0]$ и $[4, +\infty)$.
Вследствие смены знака производной, функция имеет:
• Точку локального минимума: $x_{min}=0$, $f(0)=-1$.
• Точку локального максимума: $x_{max}=4$, $f(4)=-2$.

7. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$ как элементарная. В точках "стыка" имеем:
• $x=-1$: $\lim_{x\to-1^-} f(x) = 4$; $f(-1) = 0$. Разрыв первого рода (скачок).
• $x=2$: $f(2) = 1$; $\lim_{x\to2^+} f(x) = -6$. Разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Исследование функции по основным свойствам проведено. Результаты анализа (область определения и значений, четность, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность) представлены выше.