Номер 4, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 4

Рассмотрим функции $g(x)=x^3-5x^7$, $h(x)=x(|x|-x^2)$ на их естественной области определения. Сравните между собой значения $g(x)$ и $g(-x)$, $h(x)$ и $h(-x)$. Что можно сказать о значениях этих функций в противоположных точках? Какие выводы можно сделать о структуре графиков этих функций?

Если вы все правильно сделали, то поняли, что значения функций из упражнения 3 в противоположных точках совпадают. Например, $g(-x)=(-x)^2+4(-x)^8=x^2+4x^8=g(x)$. Это значит, что любая пара точек графиков этих функций с противоположными абсциссами имеет одинаковые ординаты (упражнение 1). Следовательно, для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике симметричная ей относительно прямой $Oy$ точка $(-x_0, y_0)$ тоже лежит на графике. Но это значит, что весь график симметричен сам себе относительно оси $Oy$ (упражнение 1). Такие функции называются четными.

В упражнении 4 имеем $g(-x)=(-x)^3-5(-x)^7=-x^3+5x^7=-(x^3-5x^7)=-g(x)$, т.е. любая пара точек с противоположными абсциссами имеет противоположные ординаты (упражнение 2). Следовательно, для любой точки $(x_0, y_0)$ симметричная ей относительно $(0,0)$ точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ так же лежит на графике. Но это значит, что весь график симметричен сам себе относительно точки $O(0,0)$. Такие функции называются нечетными.

Условие 1) в данном определении означает симметричность множества $D(f)$ относительно начала координат на оси $Ox$. Иными словами, в любой паре точек с противоположными координатами на оси либо обе не принадлежат области $D(f)$, либо обе принадлежат $D(f)$. Во втором случае значения функции в этих точках равны между собой. Это значит, что если какая-то точка $(x_0, y_0)$ координатной плоскости лежит на графике четной функции, то $(-x_0, y_0)$ также лежит на графике той же функции. Но такие пары точек симметричны друг другу относительно оси $Oy$ (см. упражнение 1). Следовательно, прямая $Oy$ является осью симметрии графика любой четной функции.

Далее будет сформулировано определение нечетной функции и соответствующее свойство ее графика. Но для вас будет гораздо интереснее и полезнее выполнить следующее упражнение.

Для решения задачи проанализируем каждую функцию по отдельности, а затем сделаем общие выводы, отвечая на поставленные в упражнении вопросы.

Сравнение значений g(x) и g(-x), h(x) и h(-x)

Естественная область определения для обеих функций — множество всех действительных чисел $ \mathbb{R} $, которое является симметричным относительно точки $0$.

1. Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 - 5x^7$.
Найдем значение этой функции в точке $-x$:
$g(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^7 = -x^3 - 5(-x^7) = -x^3 + 5x^7$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$g(-x) = -(x^3 - 5x^7)$.
Поскольку выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$, мы получаем:
$g(-x) = -g(x)$.

2. Рассмотрим функцию $h(x) = x(|x| - x^2)$.
Найдем значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = (-x)(|-x| - (-x)^2)$.
Используя свойства модуля ($|-x| = |x|$) и квадрата числа ($(-x)^2 = x^2$), преобразуем выражение:
$h(-x) = -x(|x| - x^2)$.
Выражение в скобках, умноженное на $x$, равно исходной функции $h(x)$, следовательно:
$h(-x) = -h(x)$.

Ответ: Для функции $g(x)$ справедливо равенство $g(-x) = -g(x)$. Для функции $h(x)$ справедливо равенство $h(-x) = -h(x)$.

Значения функций в противоположных точках

Из проведенного выше сравнения следует, что для обеих функций значение в точке $-x$ равно значению в точке $x$, взятому с противоположным знаком. Это свойство называется нечетностью функции.
Таким образом, для любой пары противоположных точек $x_0$ и $-x_0$ из области определения, значения функций в этих точках также будут противоположны: $g(-x_0) = -g(x_0)$ и $h(-x_0) = -h(x_0)$.

Ответ: Значения этих функций в противоположных точках являются противоположными числами.

Структура графиков функций

Функции, удовлетворяющие условию $f(-x) = -f(x)$ на всей своей симметричной области определения, называются нечетными.
Геометрически это свойство означает, что график функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0,0)$. Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику нечетной функции, то и точка с координатами $(-x_0, -y_0)$, полученная из первой центральной симметрией относительно начала координат, также обязательно принадлежит этому графику.
Поскольку обе функции, $g(x)$ и $h(x)$, являются нечетными, их графики обладают этим свойством.

Ответ: Графики функций $g(x)$ и $h(x)$ симметричны относительно начала координат.