Номер 2, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1)

а) $f(x)=x^4$;

б) $f(x)=x^3$;

в) $f(x)=x^3-x^4$;

г) $f(x)=\frac{x-2}{|x|+1}$.

а) Для того чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение следующих условий:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Для четной функции должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
3. Для нечетной функции должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^4 = x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = x^4$ и $f(x) = x^4$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
3. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = -x^3$. Так как $f(x) = x^3$, то $-f(x) = -x^3$.
Получаем, что $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - x^4$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 - (-x)^4 = -x^3 - x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -x^3 - x^4$.
$f(x) = x^3 - x^4$.Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - x^4) = -x^3 + x^4$.
$f(-x) \ne -f(x)$, так как $-x^3 - x^4 \ne -x^3 + x^4$ (кроме случая $x=0$). Значит, функция не является нечетной.
Следовательно, это функция общего вида.
Ответ: ни четная, ни нечетная (функция общего вида).

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x-2}{|x|+1}$.
1. Знаменатель $|x|+1$ всегда больше нуля ($|x| \ge 0 \implies |x|+1 \ge 1$), поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{(-x)-2}{|-x|+1} = \frac{-x-2}{|x|+1}$, так как $|-x|=|x|$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \frac{-x-2}{|x|+1}$.
$f(x) = \frac{x-2}{|x|+1}$.
$f(-x) \ne f(x)$, значит, функция не является четной.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = - \frac{x-2}{|x|+1} = \frac{-(x-2)}{|x|+1} = \frac{2-x}{|x|+1}$.
$f(-x) \ne -f(x)$, так как $\frac{-x-2}{|x|+1} \ne \frac{2-x}{|x|+1}$.
Следовательно, это функция общего вида.
Ответ: ни четная, ни нечетная (функция общего вида).