Номер 3, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2)

$f(x) = (x+4)|x-3| + (x-4)|x+3|$.

Для того чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо раскрыть модули в выражении $2f(x) = (x+4)|x-3| + (x-4)|x+3|$. Для этого нужно рассмотреть знаки подмодульных выражений $x-3$ и $x+3$.

Найдем точки, в которых подмодульные выражения равны нулю:

$x-3=0 \Rightarrow x=3$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, 3)$ и $[3, +\infty)$. Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. Интервал $x < -3$

На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны:

$x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

$x+3 < 0$, поэтому $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Подставим раскрытые модули в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(-(x-3)) + (x-4)(-(x+3))$

$2f(x) = -(x+4)(x-3) - (x-4)(x+3)$

Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для удобства: $(x+4)(x-3) = x^2+x-12$ и $(x-4)(x+3) = x^2-x-12$.

$2f(x) = -(x^2+x-12) - (x^2-x-12)$

$2f(x) = -x^2 - x + 12 - x^2 + x + 12$

$2f(x) = -2x^2 + 24$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = -x^2 + 12$

2. Интервал $-3 \le x < 3$

На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, а $x+3$ неотрицательно:

$x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

$x+3 \ge 0$, поэтому $|x+3| = x+3$.

Подставим в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(-(x-3)) + (x-4)(x+3)$

$2f(x) = -(x^2+x-12) + (x^2-x-12)$

$2f(x) = -x^2 - x + 12 + x^2 - x - 12$

$2f(x) = -2x$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = -x$

3. Интервал $x \ge 3$

На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны:

$x-3 \ge 0$, поэтому $|x-3| = x-3$.

$x+3 > 0$, поэтому $|x+3| = x+3$.

Подставим в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(x-3) + (x-4)(x+3)$

$2f(x) = (x^2+x-12) + (x^2-x-12)$

$2f(x) = 2x^2 - 24$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = x^2 - 12$

Объединяя результаты, полученные для каждого интервала, мы можем записать функцию $f(x)$ в кусочно-заданном виде.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 12, & \text{при } x < -3 \\-x, & \text{при } -3 \le x < 3 \\x^2 - 12, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$