Номер 2, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2) На рисунке ниже изображен график функции $y=h(x)$. Исследовать функцию $h(x)$. Дополнительно указать множества, на которых функция является невозрастающей, неубывающей.

Проведем полное исследование функции $y=h(x)$, заданной графически.

1. Область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Судя по графику, функция определена на отрезке от -5 до 5 включительно.

Ответ: $D(h) = [-5; 5]$.

2. Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение функции достигается в точке $x=-2$ и равно -2. Наибольшее значение достигается в точке $x=-5$ и равно 4.

Ответ: $E(h) = [-2; 4]$.

3. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($h(x)=0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).

Из графика видно, что $h(x)=0$ в точках $x=-3$ и $x=0$.

Третья точка пересечения находится на отрезке с концами в точках $(4, 2)$ и $(5, -1)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки: $y - 2 = \frac{-1 - 2}{5 - 4}(x - 4)$, что упрощается до $y = -3(x - 4) + 2$ или $y = -3x + 14$. Приравняв $y$ к нулю, получим $0 = -3x + 14$, откуда $x = 14/3$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 14/3$.

4. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

Функция положительна ($h(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $x \in [-5; -3)$ и $x \in (0; 14/3)$.

Функция отрицательна ($h(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $x \in (-3; 0)$ и $x \in (14/3; 5]$.

Ответ: функция положительна при $x \in [-5; -3) \cup (0; 14/3)$; функция отрицательна при $x \in (-3; 0) \cup (14/3; 5]$.

5. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция возрастает, убывает или является постоянной.

Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$.

Функция убывает на промежутках $[-5; -2]$ и $[4; 5]$.

Функция является постоянной на промежутке $[2; 4]$.

Ответ: функция возрастает на $[-2; 2]$; убывает на $[-5; -2]$ и $[4; 5]$; постоянна на $[2; 4]$.

6. Экстремумы функции

Экстремумы — это точки локального максимума и минимума функции.

Точка локального минимума: $x_{min}=-2$. Значение в точке минимума: $h(-2) = -2$.

Точки локального максимума: $x_{max}=-5$ и все точки на отрезке $x \in [2; 4]$. Значения в точках максимума: $h(-5)=4$ и $h(x)=2$ для $x \in [2; 4]$.

Наибольшее значение функции на всей области определения: $max_{x \in [-5;5]} h(x) = h(-5) = 4$.

Наименьшее значение функции на всей области определения: $min_{x \in [-5;5]} h(x) = h(-2) = -2$.

Ответ: точка минимума $x_{min}=-2$, значение $h_{min}=-2$. Точки максимума $x_{max}=-5$ (значение 4) и $x \in [2; 4]$ (значение 2). Наибольшее значение функции равно 4, наименьшее — -2.

7. Четность и нечетность

Область определения $D(h)=[-5; 5]$ симметрична относительно нуля. Однако, $h(4) = 2$ и $h(-4) = -2(-4)-6 = 2$, то есть $h(-4)=h(4)$. Но при этом $h(2)=2$ и $h(-2)=-2$, то есть $h(-2)=-h(2)$. Поскольку ни условие четности $h(-x)=h(x)$, ни условие нечетности $h(-x)=-h(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

8. Множества, на которых функция является невозрастающей, неубывающей

Функция является невозрастающей, если для любых $x_1 < x_2$ из этого множества выполняется $h(x_1) \geq h(x_2)$. Это объединение промежутков убывания и постоянства. Функция убывает на $[-5; -2]$ и $[4; 5]$, и постоянна на $[2; 4]$. Таким образом, она невозрастающая на множествах $[-5; -2]$ и $[2; 5]$.

Функция является неубывающей, если для любых $x_1 < x_2$ из этого множества выполняется $h(x_1) \leq h(x_2)$. Это объединение промежутков возрастания и постоянства. Функция возрастает на $[-2; 2]$ и постоянна на $[2; 4]$. Таким образом, она неубывающая на множестве $[-2; 4]$.

Ответ: функция является невозрастающей на множествах $[-5; -2]$ и $[2; 5]$; функция является неубывающей на множестве $[-2; 4]$.