Номер 12, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) Функция $f(x)$ является четной; известно, что $f(x)=x^2-2x$ при $x\ge0$.

Постройте график. Исследуйте функцию.

(Исследовать функцию – это значит указать нули функции, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значения функции, область значений функции).

Поскольку функция $f(x)$ является четной, для нее выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

Нам дано, что при $x \ge 0$, функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2x$.

Чтобы найти вид функции при $x < 0$, воспользуемся свойством четности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Мы можем подставить $-x$ в известную нам формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Так как $f(x) = f(-x)$, то для $x < 0$ получаем $f(x) = x^2 + 2x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$
Единой формулой это можно записать как $f(x) = x^2 - 2|x|$.

Постройте график

График функции состоит из двух частей:
1. При $x \ge 0$ строим график параболы $y = x^2 - 2x$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$; $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина в точке $(1, -1)$. График пересекает ось OX в точках $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$.
2. При $x < 0$ строим график параболы $y = x^2 + 2x$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$; $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Вершина в точке $(-1, -1)$. График пересекает ось OX в точке $x(x+2)=0$, то есть $x=-2$ (так как $x=0$ не входит в этот промежуток).
Можно также построить часть графика для $x \ge 0$ и симметрично отразить ее относительно оси OY. В результате получается график, напоминающий букву "W", с минимумами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ и локальным максимумом в точке $(0, 0)$.

Исследуйте функцию

Нули функции
Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
Для $x \ge 0$: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.
Для $x < 0$: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2$.
Ответ: Нулями функции являются $x = -2, x = 0, x = 2$.

Интервалы знакопостоянства
Определим знаки функции на интервалах, на которые числовую ось делят нули функции.
- $f(x) > 0$ (функция положительна): $x^2 - 2|x| > 0$. Это выполняется, когда $|x|(|x|-2) > 0$. Так как $|x| \ge 0$, нам нужно, чтобы $|x|-2 > 0$ и $|x| \ne 0$, то есть $|x| > 2$.
- $f(x) < 0$ (функция отрицательна): $x^2 - 2|x| < 0$. Это выполняется, когда $|x|(|x|-2) < 0$, то есть $|x|-2 < 0$ и $|x| \ne 0$. Отсюда $0 < |x| < 2$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-2, 0) \cup (0, 2)$.

Промежутки монотонности
Найдем производную функции. В точке $x=0$ функция непрерывна, но производная не существует (излом графика).
- При $x > 0$: $f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$. $f'(x) > 0$ при $x>1$ (возрастает), $f'(x) < 0$ при $0 - При $x < 0$: $f'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$. $f'(x) > 0$ при $-1 Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

Экстремумы функции
Экстремумы достигаются в критических точках, где производная равна нулю или не существует.
- $x=-1$: производная равна нулю, знак меняется с "минуса" на "плюс" - это точка локального минимума. $y_{min} = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1$.
- $x=1$: производная равна нулю, знак меняется с "минуса" на "плюс" - это точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$.
- $x=0$: производная не существует, знак меняется с "плюса" на "минус" - это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.
Ответ: $x_{min} = \pm 1$ — точки минимума, $f_{min} = -1$; $x_{max} = 0$ — точка максимума, $f_{max} = 0$.

Наибольшее и наименьшее значения функции
Так как при $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует. Наименьшее значение достигается в точках минимума.
Ответ: Наибольшего значения не существует, наименьшее значение функции равно -1.

Область значений функции
Множество всех значений, которые принимает функция. Оно начинается с наименьшего значения и идет до бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.