Номер 3, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1)

Изобразите график четной функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=4$, и на множестве $[-2;0]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=x+2$.

3. (1)

Для построения графика функции $y = f(x)$ воспользуемся последовательно всеми заданными условиями: определением функции на отрезке, ее четностью и периодичностью.

Шаг 1: Построение графика на отрезке $[-2; 0]$

По условию, на множестве $[-2; 0]$ функция задается формулой $f(x) = x + 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов. При $x = -2$ значение функции $f(-2) = -2 + 2 = 0$, что соответствует точке $(-2; 0)$. При $x = 0$ значение функции $f(0) = 0 + 2 = 2$, что соответствует точке $(0; 2)$. Соединив эти две точки, получаем график функции на отрезке $[-2; 0]$.

Шаг 2: Использование свойства четности

Функция $f(x)$ является четной, что означает выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Используя это свойство, мы можем построить график на отрезке $[0; 2]$, который симметричен отрезку $[-2; 0]$. Отрезок, соединяющий точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$, при симметричном отражении относительно оси $Oy$ перейдет в отрезок, соединяющий точки $(2; 0)$ и $(0; 2)$. Таким образом, на отрезке $[0; 2]$ функция задается формулой $f(x) = -x + 2$. Объединив графики на отрезках $[-2; 0]$ и $[0; 2]$, мы получаем основной фрагмент графика на отрезке $[-2; 2]$. Он имеет форму треугольника с вершиной в точке $(0; 2)$ и основанием на оси $Ox$ от $x = -2$ до $x = 2$. Длина этого отрезка $2 - (-2) = 4$, что соответствует периоду функции.

Шаг 3: Использование свойства периодичности

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что $f(x+4) = f(x)$, и ее график повторяется через каждые 4 единицы вдоль оси $Ox$. Чтобы получить полный график функции, нужно "размножить" построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент влево и вправо с шагом, равным периоду $T=4$. Например, сдвинув фрагмент с $[-2; 2]$ на 4 единицы вправо, получим такой же "треугольник" на отрезке $[2; 6]$ с вершиной в точке $(4; 2)$. Аналогично, сдвигая фрагмент на 4 единицы влево, мы получим график на отрезке $[-6; -2]$ с вершиной в точке $(-4; 2)$, и так далее.

Итоговый вид графика

График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную ломаную линию, состоящую из одинаковых "треугольников". Вершины (максимумы) этой ломаной находятся в точках с координатами $(4k; 2)$, где $k$ — любое целое число (..., $(-4; 2)$, $(0; 2)$, $(4; 2)$, ...). График пересекает ось абсцисс (нули функции) в точках с координатами $(2 + 4k; 0)$, где $k$ — любое целое число (..., $(-2; 0)$, $(2; 0)$, $(6; 0)$, ...).

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из повторяющихся "треугольных" фрагментов. На основном периоде $[-2; 2]$ график состоит из двух отрезков: отрезка, соединяющего точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$, и отрезка, соединяющего точки $(0; 2)$ и $(2; 0)$. Этот фрагмент, имеющий форму треугольника с вершиной в $(0;2)$, затем периодически повторяется по всей оси $Ox$ с периодом $T=4$.