Номер 6, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Четная функция $f(x)$ имеет период $T=4$ и на множестве $[-2;0]$ задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $f(x)$ воспользуемся ее свойствами: четностью, периодичностью и определением на заданном множестве.

1. Построение графика на интервале $[-2; 0]$

На отрезке $[-2; 0]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Координата $x_в = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

Найдем значение функции в вершине:

$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -1)$.

Найдем значения функции на концах отрезка $[-2; 0]$:

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$.

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$.

Итак, на отрезке $[-2; 0]$ график функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$, с вершиной в точке $(-1; -1)$.

2. Использование свойства четности функции

Функция $f(x)$ является четной, что означает $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Используя это свойство, мы можем построить график на отрезке $[0; 2]$, симметрично отразив построенный участок с отрезка $[-2; 0]$ относительно оси $Oy$.

Точка $(-2; 0)$ перейдет в точку $(2; 0)$.

Точка $(-1; -1)$ перейдет в точку $(1; -1)$.

Точка $(0; 0)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Таким образом, на отрезке $[0; 2]$ график функции представляет собой часть параболы, проходящую через точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$, с минимумом в точке $(1; -1)$.

Мы получили график функции на отрезке $[-2; 2]$. Длина этого отрезка равна $2 - (-2) = 4$, что совпадает с периодом функции.

3. Использование свойства периодичности функции

Функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=4$. Это означает, что $f(x+4) = f(x)$ для любого $x$.

Чтобы получить полный график функции, нужно построенный на отрезке $[-2; 2]$ фрагмент повторить вдоль всей оси $Ox$ с шагом, равным периоду $T=4$. То есть, мы сдвигаем этот фрагмент влево и вправо на $4, 8, 12, \dots$ единиц.

Например, на отрезке $[2; 6]$ график будет выглядеть так же, как и на отрезке $[-2; 2]$.

4. Изображение итогового графика

Объединяя все шаги, получаем итоговый график функции $y=f(x)$. Он представляет собой бесконечно повторяющуюся последовательность "W-образных" кривых.

Ответ: График функции $f(x)$ построен на основании анализа ее свойств и представляет собой периодически повторяющийся на всей числовой оси фрагмент, который на отрезке $[-2; 2]$ состоит из двух симметричных относительно оси $Oy$ участков парабол. Ключевые точки одного периода, например на $[-2; 2]$, включают: нули функции в точках $x=-2$ и $x=2$, локальный максимум в точке $(0; 0)$ и локальные минимумы в точках $(-1; -1)$ и $(1; -1)$. Изображение графика представлено выше.