Номер 4, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2)

Изобразите график функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=2$ и на множестве $(0;2]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=\frac{4}{x}$.

Для построения графика периодической функции $y=f(x)$ с периодом $T=2$, которая на множестве $(0; 2]$ задается формулой $f(x)=\frac{4}{x}$, необходимо сначала построить ее график на этом основном промежутке, а затем продолжить его на всю числовую ось, используя свойство периодичности.

1. Построение графика на промежутке $(0; 2]$

На промежутке $(0; 2]$ мы имеем дело с функцией $f(x) = \frac{4}{x}$. Это стандартная обратная пропорциональность (гипербола), ветвь которой расположена в первой координатной четверти.

Определим ключевые особенности графика на этом отрезке:

- Поведение на левой границе: при $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0+$), значение функции $f(x)=\frac{4}{x}$ стремится к положительной бесконечности ($+\infty$). Следовательно, ось ординат (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика. Сама точка $x=0$ не входит в промежуток.

- Значение на правой границе: в точке $x=2$ функция определена и ее значение равно $f(2) = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, точка $(2; 2)$ принадлежит графику. На графике эта точка будет изображена закрашенной.

- Промежуточные точки: для более точного построения найдем еще одну точку. Например, при $x=1$, $f(1) = \frac{4}{1} = 4$. Точка $(1; 4)$ также принадлежит графику.

Итак, на промежутке $(0; 2]$ график представляет собой плавно убывающую кривую (часть гиперболы), которая начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ и заканчивается в точке $(2; 2)$.

2. Построение всего графика с учетом периодичности

Период функции равен $T=2$. Это означает, что вид графика повторяется через каждые 2 единицы по оси $Ox$. Математически это свойство записывается как $f(x+2n) = f(x)$ для любого целого числа $n$.

Чтобы получить полный график, мы должны "размножить" построенный на $(0; 2]$ фрагмент, сдвигая его влево и вправо на расстояния, кратные периоду $2$:

- На промежутке $(2; 4]$ график будет выглядеть так же, как и на $(0; 2]$, но сдвинутым на 2 единицы вправо. Вертикальной асимптотой будет прямая $x=2$, а заканчиваться этот фрагмент будет в точке $(4; 2)$.

- На промежутке $(-2; 0]$ график будет сдвинут на 2 единицы влево. Вертикальной асимптотой будет прямая $x=-2$, а заканчиваться фрагмент будет в точке $(0; 2)$.

Этот процесс продолжается бесконечно в обе стороны.

В результате мы получаем график, состоящий из бесконечного числа идентичных кривых. Вертикальные асимптоты будут находиться в точках $x=2n$ для всех целых $n$ (например, $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$). Правые концы каждого фрагмента, точки вида $(2(n+1), 2)$, будут закрашенными точками на графике. Например, точка $(2, 2)$ является концом фрагмента на $(0, 2]$, точка $(0, 2)$ — концом фрагмента на $(-2, 0]$ и так далее.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность одинаковых фрагментов ветвей гиперболы. На каждом интервале вида $(2n, 2n+2]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число), график является копией графика функции $y=\frac{4}{x}$ на интервале $(0, 2]$, сдвинутой вдоль оси абсцисс на $2n$. Прямые вида $x=2n$ являются вертикальными асимптотами. Точки вида $(2k, 2)$ для всех целых $k$ принадлежат графику, являясь правыми конечными точками каждого периодического фрагмента.