Номер 16, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (2) Четная функция $f(x)$ имеет период $T=4$, на множестве $[-2,0)$ задается формулой $f(x)=\frac{4}{x}$ и не определена в точке 0. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ используем все заданные условия по шагам.

1. Сначала построим график на интервале, где задана формула: $[-2, 0)$. Функция $f(x) = \frac{4}{x}$ является гиперболой. В точке $x=-2$ ее значение $f(-2) = \frac{4}{-2} = -2$. Таким образом, точка $(-2, -2)$ принадлежит графику. В точке $x=0$ функция не определена. При приближении $x$ к нулю слева ($x \to 0^-$), $f(x)$ стремится к $-\infty$. Это значит, что ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. Итак, на интервале $[-2, 0)$ график представляет собой ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(-2,-2)$ и уходит вниз вдоль оси ординат.

2. Далее используем свойство четности функции: $f(-x)=f(x)$. Это означает, что график симметричен относительно оси $Oy$. Отразив построенную часть графика относительно оси $Oy$, мы получим его вид на интервале $(0, 2]$. Точка $(-2, -2)$ перейдет в точку $(2, -2)$. Асимптота $x=0$ останется асимптотой и для $x > 0$, при $x \to 0^+$ функция также будет стремиться к $-\infty$. В результате мы получаем вид графика на интервале $[-2, 2]$ (за исключением точки $x=0$).

3. Наконец, используем свойство периодичности с периодом $T=4$. Построенный на интервале $[-2, 2]$ (длина которого равна 4) фрагмент графика повторяется вдоль всей оси $Ox$ со сдвигом на $4k$ для любого целого $k$. Это означает, что вертикальные асимптоты будут находиться во всех точках вида $x=4k$. А "вершины" кривых, аналогичные точкам $(-2, -2)$ и $(2, -2)$, будут находиться в точках с координатами $(-2+4k, -2)$ и $(2+4k, -2)$.

Итоговый график представляет собой бесконечную последовательность одинаковых "арок", обращенных вниз. Каждая арка расположена между точками вида $(4k-2, -2)$ и $(4k+2, -2)$, и разделена посередине вертикальной асимптотой $x=4k$, к которой стремятся ее ветви, уходя в минус бесконечность.

Ответ: График функции $y=f(x)$ является периодическим с периодом $T=4$. Он имеет вертикальные асимптоты в точках $x=4k$ для всех целых $k$. В каждом интервале $(4k-2, 4k+2)$ график состоит из двух симметричных ветвей. Одна ветвь идет от точки $(4k-2, -2)$ вниз к асимптоте $x=4k$, стремясь к $-\infty$. Другая ветвь идет от асимптоты $x=4k$ (от $-\infty$) вверх до точки $(4k+2, -2)$.