Номер 19, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (3)
Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На промежутке $[-3;0]$ она задается формулой $f(x)=x^2+x+2$. Найдите значение выражения $f(10)-f(5)+f(-4)$.

1. Свойство периодичности ($T=6$):

Для любого целого $k$ выполняется $f(x) = f(x + 6k)$. Приведем аргументы к значениям, близким к заданному промежутку:

• $f(10)$: $f(10) = f(10 - 2 \cdot 6) = f(10 - 12) = f(-2)$.
• $f(5)$: $f(5) = f(5 - 6) = f(-1)$.
• $f(-4)$: $f(-4) = f(-4 + 6) = f(2)$.

2. Свойство четности ($f(-x) = f(x)$):

Аргумент $2$ не входит в промежуток $[-3; 0]$, но в силу четности:

• $f(2) = f(-2)$.

Теперь все искомые значения выражены через значения функции в точках из промежутка $[-3; 0]$:

• $f(10) = f(-2)$
• $f(5) = f(-1)$
• $f(-4) = f(-2)$

3. Вычисление значений по формуле $f(x) = x^2 + x + 2$:

• $f(-2)$: $(-2)^2 + (-2) + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$.
• $f(-1)$: $(-1)^2 + (-1) + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$.

4. Нахождение значения итогового выражения:

Нам нужно найти: $f(10) - f(5) + f(-4)$.

Подставляем полученные результаты:

$4 - 2 + 4 = 6$.

Ответ: 6.