Номер 20, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3) Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой оси и является периодической с периодом 5. На рисунке 5 изображен график этой функции при $-3 \le x \le 2$. Найдите значение выражения $ \frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)} $.

Рис. 5

По условию задачи, функция $y=f(x)$ определена на всей числовой оси и является периодической с периодом $T=5$. Это означает, что для любого значения $x$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство $f(x + nT) = f(x)$. На рисунке изображен график этой функции на отрезке $[-3, 2]$, длина которого равна $2 - (-3) = 5$, что в точности равно периоду функции.

Требуется найти значение выражения $\frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)}$. Для этого необходимо последовательно найти значения функции $f(0)$, $f(11)$ и $f(-9)$.

1. Нахождение $f(0)$.Аргумент $x=0$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$, на котором задан график. По графику находим, что при $x=0$ значение функции равно $2$. Таким образом, $f(0) = 2$.

2. Нахождение $f(11)$.Аргумент $x=11$ не принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Воспользуемся свойством периодичности функции, чтобы найти эквивалентную точку в пределах заданного отрезка. Будем вычитать из аргумента период $T=5$ до тех пор, пока не получим значение из отрезка $[-3, 2]$.$f(11) = f(11 - 5) = f(6)$.$f(6) = f(6 - 5) = f(1)$.Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$. По графику находим, что при $x=1$ значение функции равно $-1$. Следовательно, $f(11) = f(1) = -1$.

3. Нахождение $f(-9)$.Аргумент $x=-9$ также не принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Воспользуемся свойством периодичности, прибавляя к аргументу период $T=5$.$f(-9) = f(-9 + 5) = f(-4)$.$f(-4) = f(-4 + 5) = f(1)$.Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, $f(1) = -1$. Следовательно, $f(-9) = f(1) = -1$.

4. Вычисление значения выражения.Подставим найденные значения $f(0)=2$, $f(11)=-1$ и $f(-9)=-1$ в исходное выражение:$\frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)} = \frac{-1}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5