Номер 17, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (3) Нечетная функция $f(x)$ имеет период $T=12$, на интервале $(0; 6)$ задается формулой $f(x)=\frac{1}{8}(x-3)^2$, в точках $x=0$ и $x=6$ не определена. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ воспользуемся ее свойствами: нечетностью, периодичностью и определением на заданном интервале. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Построение графика на интервале $(0; 6)$

На интервале $(0; 6)$ функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{8}(x-3)^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины этой параболы. Абсцисса вершины $x_0 = 3$. Ордината вершины $y_0 = f(3) = \frac{1}{8}(3-3)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 0)$.

Поскольку функция не определена в точках $x=0$ и $x=6$, найдем предельные значения функции на концах интервала, чтобы определить координаты "выколотых" точек на графике.

При $x \to 0^+$: $f(x) \to \frac{1}{8}(0-3)^2 = \frac{9}{8}$.
При $x \to 6^-$: $f(x) \to \frac{1}{8}(6-3)^2 = \frac{9}{8}$.

Итак, на интервале $(0; 6)$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(3; 0)$ и "выколотыми" точками на концах: $(0; \frac{9}{8})$ и $(6; \frac{9}{8})$.

2. Построение графика на интервале $(-6; 0)$ с использованием свойства нечетности

Функция $f(x)$ является нечетной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы получить график на интервале $(-6; 0)$, мы должны симметрично отразить построенный на $(0; 6)$ участок относительно начала координат. При таком отражении точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$.

Вершина $(3; 0)$ переходит в точку $(-3; 0)$.
"Выколотая" точка $(6; \frac{9}{8})$ переходит в точку $(-6; -\frac{9}{8})$.
"Выколотая" точка $(0; \frac{9}{8})$ переходит в точку $(0; -\frac{9}{8})$.

На интервале $(-6; 0)$ график представляет собой дугу параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(-3; 0)$ и "выколотыми" точками на концах: $(-6; -\frac{9}{8})$ и $(0; -\frac{9}{8})$.

3. Построение графика на всей числовой прямой с использованием свойства периодичности

Функция имеет период $T=12$. Это означает, что $f(x+12) = f(x)$. Мы уже построили график на интервале $(-6; 6)$, длина которого равна 12. Этот участок является основным "блоком", который будет повторяться вдоль всей оси $Ox$.

Поскольку функция не определена в $x=6$, то из-за периодичности она также не будет определена в точках $x = 6 + 12k$ для любого целого $k$. Также из $f(-x)=-f(x)$ и $f(x+12)=f(x)$ следует, что $f(6k)$ не определена для любого целого $k$.

В точках $x=6k$ (например, $x=0, \pm6, \pm12, \dots$) функция имеет разрывы. Например, в точке $x=0$ предел слева равен $-\frac{9}{8}$, а предел справа равен $\frac{9}{8}$. В точке $x=6$ предел слева равен $\frac{9}{8}$, а предел справа (используя периодичность) равен $f(6^+) = f(6^+-12) = f(-6^+) = -\frac{9}{8}$.

Таким образом, итоговый график состоит из бесконечно повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент — это две соединенные дуги параболы: одна ветвями вверх, другая ветвями вниз.

- На интервалах вида $(12k; 6+12k)$ график представляет собой дугу параболы ветвями вверх с вершиной в точке $(3+12k; 0)$.
- На интервалах вида $(-6+12k; 12k)$ график представляет собой дугу параболы ветвями вниз с вершиной в точке $(-3+12k; 0)$.

Итоговый график представляет собой волнообразную линию, состоящую из параболических сегментов, которые "перескакивают" в точках $x=6k$ с одного значения на другое.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность параболических дуг. На интервале $(-6, 6)$ график состоит из двух частей: 1) На интервале $(-6, 0)$ — дуга параболы $y = -\frac{1}{8}(x+3)^2$ с вершиной в $(-3, 0)$, идущая от "выколотой" точки $(-6, -\frac{9}{8})$ до "выколотой" точки $(0, -\frac{9}{8})$. 2) На интервале $(0, 6)$ — дуга параболы $y = \frac{1}{8}(x-3)^2$ с вершиной в $(3, 0)$, идущая от "выколотой" точки $(0, \frac{9}{8})$ до "выколотой" точки $(6, \frac{9}{8})$. Этот узор на интервале $(-6, 6)$ периодически повторяется с периодом $T=12$ вдоль всей оси $Ox$. В точках $x=6k$, где $k$ — целое число, функция не определена и ее график имеет разрывы.