Номер 8, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) Функция вида $y=kx+m$, где $k$ и $m$ - некоторые числа, называется линейной. Докажите, что композиция любых двух линейных функций есть снова линейная функция.

По определению, линейная функция имеет вид $y = kx + m$, где $k$ и $m$ — некоторые числа (коэффициенты).
Чтобы доказать, что композиция двух линейных функций является снова линейной функцией, рассмотрим две произвольные линейные функции.
Пусть первая функция задана формулой $f(x) = k_1x + m_1$, а вторая — $g(x) = k_2x + m_2$, где $k_1, m_1, k_2, m_2$ — некоторые действительные числа.
Композиция функций $f$ и $g$, обозначаемая как $f(g(x))$ или $(f \circ g)(x)$, представляет собой применение функции $f$ к результату функции $g$.
Найдем выражение для композиции $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ вместо переменной $x$ в формулу для $f(x)$:
$f(g(x)) = k_1 \cdot (g(x)) + m_1$
Теперь подставим само выражение для $g(x) = k_2x + m_2$:
$f(g(x)) = k_1(k_2x + m_2) + m_1$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$f(g(x)) = k_1k_2x + k_1m_2 + m_1$
Сгруппируем члены:
$f(g(x)) = (k_1k_2)x + (k_1m_2 + m_1)$
Полученное выражение имеет вид $y = Kx + M$, где:
- Новый угловой коэффициент $K = k_1k_2$. Так как $k_1$ и $k_2$ являются числами, их произведение $K$ также является числом.
- Новый свободный член $M = k_1m_2 + m_1$. Так как $k_1, m_2, m_1$ являются числами, результат их произведения и сложения $M$ также является числом.
Таким образом, результирующая функция $f(g(x))$ имеет вид $y = Kx + M$, что полностью соответствует определению линейной функции. Следовательно, композиция двух линейных функций всегда является линейной функцией.

Ответ: Композиция двух линейных функций $f(x) = k_1x + m_1$ и $g(x) = k_2x + m_2$ есть функция $h(x) = f(g(x)) = (k_1k_2)x + (k_1m_2 + m_1)$, которая также является линейной, так как имеет вид $y=Kx+M$ с коэффициентами $K = k_1k_2$ и $M = k_1m_2 + m_1$. Что и требовалось доказать.