Номер 7, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (3) Даны функции $g(x) = \frac{2x+3}{x-4}$ и $f(x) = \frac{x}{x+1}$.

Решите неравенства:

а) $g(f(x))<1$;

б) $f(g(x))>0$;

в) $f(g(x))>-1$.

a) Решим неравенство $g(f(x)) < 1$.

Сначала найдем композицию функций $g(f(x))$. Для этого подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$:

$g(f(x)) = \frac{2f(x)+3}{f(x)-4} = \frac{2\left(\frac{x}{x+1}\right)+3}{\frac{x}{x+1}-4}$

Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на $(x+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$g(f(x)) = \frac{2x + 3(x+1)}{x - 4(x+1)} = \frac{2x+3x+3}{x-4x-4} = \frac{5x+3}{-3x-4}$

Область определения исходной сложной функции $g(f(x))$ имеет два ограничения. Во-первых, знаменатель $f(x)$ не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Во-вторых, знаменатель $g(f(x))$ не должен быть равен нулю: $f(x)-4 \neq 0 \implies \frac{x}{x+1} \neq 4 \implies x \neq 4(x+1) \implies x \neq 4x+4 \implies -3x \neq 4 \implies x \neq -4/3$. Таким образом, область определения: $x \neq -1$ и $x \neq -4/3$.

Теперь решим неравенство $g(f(x)) < 1$:

$\frac{5x+3}{-3x-4} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+3}{-3x-4} - 1 < 0$

$\frac{5x+3 - (-3x-4)}{-3x-4} < 0$

$\frac{5x+3 + 3x+4}{-3x-4} < 0$

$\frac{8x+7}{-3x-4} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{8x+7}{3x+4} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $8x+7=0 \implies x = -7/8$.

Нуль знаменателя: $3x+4=0 \implies x = -4/3$.

Отметим точки $-4/3$ и $-7/8$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -4/3)$, $(-4/3, -7/8)$ и $(-7/8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{8x+7}{3x+4}$ на каждом интервале.При $x > -7/8$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-4/3, -7/8)$ (например, $x=-1$), выражение $\frac{-}{+} < 0$.При $x < -4/3$ (например, $x=-2$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, следовательно, решением является объединение интервалов, где стоит знак "+": $x \in (-\infty, -4/3) \cup (-7/8, \infty)$.

Это решение не противоречит области определения ($x \neq -1$ и $x \neq -4/3$), так как точка $x = -4/3$ уже исключена, а точка $x=-1$ находится в интервале $(-4/3, -7/8)$, который не входит в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (-7/8, \infty)$.

б) Решим неравенство $f(g(x)) > 0$.

Найдем композицию функций $f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = \frac{g(x)}{g(x)+1} = \frac{\frac{2x+3}{x-4}}{\frac{2x+3}{x-4}+1}$

Упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на $(x-4)$:

$f(g(x)) = \frac{2x+3}{(2x+3) + 1(x-4)} = \frac{2x+3}{3x-1}$

Область определения $f(g(x))$ требует, чтобы знаменатель $g(x)$ не был равен нулю ($x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$) и знаменатель $f(g(x))$ не был равен нулю ($g(x)+1 \neq 0 \implies \frac{2x+3}{x-4} \neq -1 \implies 2x+3 \neq -x+4 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$). Итак, область определения: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$.

Решим неравенство $f(g(x)) > 0$:

$\frac{2x+3}{3x-1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x+3=0 \implies x = -3/2$.

Нуль знаменателя: $3x-1=0 \implies x = 1/3$.

Отметим точки $-3/2$ и $1/3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty, -3/2)$, $(-3/2, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x+3}{3x-1}$ на интервалах.При $x > 1/3$ (например, $x=1$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-3/2, 1/3)$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{-} < 0$.При $x < -3/2$ (например, $x=-2$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -3/2) \cup (1/3, \infty)$.

Теперь учтем область определения: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$. Точка $x=1/3$ уже исключена. Точка $x=4$ попадает в интервал $(1/3, \infty)$, поэтому ее необходимо исключить, разбив этот интервал на два.

Ответ: $x \in (-\infty, -3/2) \cup (1/3, 4) \cup (4, \infty)$.

в) Решим неравенство $f(g(x)) > -1$.

Из пункта б) мы знаем, что $f(g(x)) = \frac{2x+3}{3x-1}$, а область определения этой функции: $x \neq 4$ и $x \neq 1/3$.

Решим неравенство:

$\frac{2x+3}{3x-1} > -1$

Перенесем -1 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x+3}{3x-1} + 1 > 0$

$\frac{2x+3 + (3x-1)}{3x-1} > 0$

$\frac{5x+2}{3x-1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x+2=0 \implies x = -2/5$.

Нуль знаменателя: $3x-1=0 \implies x = 1/3$.

Отметим точки $-2/5$ и $1/3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty, -2/5)$, $(-2/5, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5x+2}{3x-1}$ на интервалах.При $x > 1/3$ (например, $x=1$), выражение $\frac{+}{+} > 0$.При $x \in (-2/5, 1/3)$ (например, $x=0$), выражение $\frac{+}{-} < 0$.При $x < -2/5$ (например, $x=-1$), выражение $\frac{-}{-} > 0$.

Решением является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -2/5) \cup (1/3, \infty)$.

Учтем область определения ($x \neq 4$ и $x \neq 1/3$). Точка $x=1/3$ уже исключена. Точка $x=4$ находится в интервале $(1/3, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2/5) \cup (1/3, 4) \cup (4, \infty)$.