Номер 22, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (3) Даны функции $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$ и $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

Решите неравенства:

а) $g(f(x))<0$;

б) $f(g(x))>\frac{1}{2}$;

в) $f(f(x))>f(3)$.

Даны функции $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$ и $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

a) $g(f(x)) < 0$

Сначала найдем композицию функций $g(f(x))$, подставив выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$.

$g(f(x)) = \frac{f(x)+2}{f(x)+1} = \frac{\frac{x+1}{x+2}+2}{\frac{x+1}{x+2}+1}$

Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на $(x+2)$:

$g(f(x)) = \frac{(\frac{x+1}{x+2}+2)(x+2)}{(\frac{x+1}{x+2}+1)(x+2)} = \frac{x+1+2(x+2)}{x+1+1(x+2)} = \frac{x+1+2x+4}{x+1+x+2} = \frac{3x+5}{2x+3}$

Теперь решим неравенство $g(f(x)) < 0$:

$\frac{3x+5}{2x+3} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Корень числителя: $3x+5=0 \implies x = -\frac{5}{3}$

Корень знаменателя: $2x+3=0 \implies x = -\frac{3}{2}$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$ и $-\frac{3}{2} = -1.5$, то $-\frac{5}{3} < -\frac{3}{2}$.

Выражение $\frac{3x+5}{2x+3}$ отрицательно в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{2})$.

Область определения функции $g(f(x))$ требует, чтобы $x \neq -2$ (из области определения $f(x)$) и $f(x) \neq -1$ (из области определения $g(x)$), что дает $\frac{x+1}{x+2} \neq -1 \implies x+1 \neq -x-2 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$. Полученный интервал удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{2})$

б) $f(g(x)) > \frac{1}{2}$

Найдем композицию функций $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$.

$f(g(x)) = \frac{g(x)+1}{g(x)+2} = \frac{\frac{x+2}{x+1}+1}{\frac{x+2}{x+1}+2}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $(x+1)$:

$f(g(x)) = \frac{(\frac{x+2}{x+1}+1)(x+1)}{(\frac{x+2}{x+1}+2)(x+1)} = \frac{x+2+1(x+1)}{x+2+2(x+1)} = \frac{2x+3}{x+2+2x+2} = \frac{2x+3}{3x+4}$

Решим неравенство $f(g(x)) > \frac{1}{2}$:

$\frac{2x+3}{3x+4} > \frac{1}{2}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x+3}{3x+4} - \frac{1}{2} > 0$

$\frac{2(2x+3) - 1(3x+4)}{2(3x+4)} > 0$

$\frac{4x+6 - 3x - 4}{2(3x+4)} > 0$

$\frac{x+2}{2(3x+4)} > 0$

Это неравенство эквивалентно $\frac{x+2}{3x+4} > 0$. Решим его методом интервалов.

Корни числителя и знаменателя: $x = -2$ и $x = -\frac{4}{3}$.

Выражение положительно при $x < -2$ и при $x > -\frac{4}{3}$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{4}{3}, \infty)$.

Область определения $f(g(x))$ требует, чтобы $x \neq -1$ (из области определения $g(x)$). Так как $-1$ входит в интервал $(-\frac{4}{3}, \infty)$, мы должны исключить эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{4}{3}, -1) \cup (-1, \infty)$

в) $f(f(x)) > f(3)$

Сначала найдем значение $f(3)$:

$f(3) = \frac{3+1}{3+2} = \frac{4}{5}$

Теперь найдем композицию функций $f(f(x))$:

$f(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x+1}{x+2}+1}{\frac{x+1}{x+2}+2} = \frac{\frac{x+1+x+2}{x+2}}{\frac{x+1+2(x+2)}{x+2}} = \frac{2x+3}{3x+5}$

При этом упрощении мы сократили на $(x+2)$, что предполагает $x \neq -2$. Область определения $f(f(x))$ также требует, чтобы $f(x) \neq -2$, что дает $\frac{x+1}{x+2} \neq -2 \implies x+1 \neq -2x-4 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$. Таким образом, область определения $f(f(x))$ есть $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac{5}{3}\}$.

Решим неравенство $f(f(x)) > f(3)$:

$\frac{2x+3}{3x+5} > \frac{4}{5}$

$\frac{2x+3}{3x+5} - \frac{4}{5} > 0$

$\frac{5(2x+3) - 4(3x+5)}{5(3x+5)} > 0$

$\frac{10x+15 - 12x-20}{5(3x+5)} > 0$

$\frac{-2x-5}{5(3x+5)} > 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{2x+5}{3x+5} < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = -\frac{5}{2}$ и $x = -\frac{5}{3}$.

Выражение отрицательно между корнями, то есть $x \in (-\frac{5}{2}, -\frac{5}{3})$.

Теперь нужно учесть область определения $f(f(x))$. Мы установили, что $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{5}{3}$. Точка $x = -\frac{5}{3}$ уже исключена, так как это конец интервала. Точка $x = -2$ находится внутри интервала $(-\frac{5}{2}, -\frac{5}{3})$, поэтому ее необходимо исключить.

Разделив интервал в точке $x=-2$, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}, -2) \cup (-2, -\frac{5}{3})$