Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

17.(1) Даны функции $g(x)=2x-3$, $h(x)=\cos x$ и $f(x)=x^3$.

Найдите $h(f(x))$, $f(h(x))$, $f(g(x))$, $g(f(x))$, $g(h(x))$, $h(g(x))$.

h(f(x)): Композиция функций $h(f(x))$ находится путем подстановки функции $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $h(x)$.
Дано: $h(x) = \cos x$ и $f(x) = x^3$.
Подставляем $f(x)$ в $h(x)$: $h(f(x)) = h(x^3) = \cos(x^3)$.
Ответ: $h(f(x)) = \cos(x^3)$.

f(h(x)): Композиция функций $f(h(x))$ находится путем подстановки функции $h(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.
Дано: $f(x) = x^3$ и $h(x) = \cos x$.
Подставляем $h(x)$ в $f(x)$: $f(h(x)) = f(\cos x) = (\cos x)^3 = \cos^3 x$.
Ответ: $f(h(x)) = \cos^3 x$.

f(g(x)): Композиция функций $f(g(x))$ находится путем подстановки функции $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.
Дано: $f(x) = x^3$ и $g(x) = 2x-3$.
Подставляем $g(x)$ в $f(x)$: $f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3)^3$.
Ответ: $f(g(x)) = (2x-3)^3$.

g(f(x)): Композиция функций $g(f(x))$ находится путем подстановки функции $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.
Дано: $g(x) = 2x-3$ и $f(x) = x^3$.
Подставляем $f(x)$ в $g(x)$: $g(f(x)) = g(x^3) = 2(x^3) - 3 = 2x^3 - 3$.
Ответ: $g(f(x)) = 2x^3 - 3$.

g(h(x)): Композиция функций $g(h(x))$ находится путем подстановки функции $h(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.
Дано: $g(x) = 2x-3$ и $h(x) = \cos x$.
Подставляем $h(x)$ в $g(x)$: $g(h(x)) = g(\cos x) = 2(\cos x) - 3 = 2\cos x - 3$.
Ответ: $g(h(x)) = 2\cos x - 3$.

h(g(x)): Композиция функций $h(g(x))$ находится путем подстановки функции $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $h(x)$.
Дано: $h(x) = \cos x$ и $g(x) = 2x-3$.
Подставляем $g(x)$ в $h(x)$: $h(g(x)) = h(2x-3) = \cos(2x-3)$.
Ответ: $h(g(x)) = \cos(2x-3)$.

18. (1) Для функции $f(x)=2x-3$ найдите $f(f(x)), f(f(f(x)))$.

Дана функция $f(x) = 2x - 3$.

$f(f(x))$

Для нахождения композиции функций $f(f(x))$, необходимо подставить выражение для $f(x)$ в эту же функцию вместо аргумента $x$.

Аргументом для внешней функции $f$ является внутренняя функция $f(x)$, то есть $2x - 3$.

Подставляем $2x - 3$ вместо $x$ в выражение $2x - 3$:

$f(f(x)) = f(2x - 3) = 2(2x - 3) - 3$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$2(2x - 3) - 3 = 4x - 6 - 3 = 4x - 9$

Таким образом, $f(f(x)) = 4x - 9$.

Ответ: $f(f(x)) = 4x - 9$.

$f(f(f(x)))$

Для нахождения композиции $f(f(f(x)))$ можно поступить аналогично. Мы можем представить ее как $f(f(f(x)))$. Мы уже нашли, что $f(f(x)) = 4x - 9$.

Теперь необходимо подставить полученное выражение для $f(f(x))$ в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$.

Подставляем $4x - 9$ вместо $x$ в выражение $2x - 3$:

$f(f(f(x))) = f(4x - 9) = 2(4x - 9) - 3$

Раскроем скобки и упростим:

$2(4x - 9) - 3 = 8x - 18 - 3 = 8x - 21$

Таким образом, $f(f(f(x))) = 8x - 21$.

Ответ: $f(f(f(x))) = 8x - 21$.

19. (2)

Пусть $f(x)$ - возрастающая, $g(x)$ - убывающая функция на интервале $(a;b)$. Что можно сказать о характере монотонности функции $g(f(x))$ на данном интервале? Что можно сказать о функции $g(g(x))$?

Что можно сказать о характере монотонности функции g(f(x)) на данном интервале?

Рассмотрим сложную функцию $h(x) = g(f(x))$. Чтобы определить её характер монотонности, возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(a; b)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей по условию, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. Обозначим значения функции $f(x)$ как $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$, тогда получаем $y_1 < y_2$.

2. Теперь рассмотрим, как ведёт себя функция $g(y)$ на этих значениях. По условию, функция $g(x)$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек из её области определения, если аргумент возрастает, значение функции убывает. Применительно к нашим точкам $y_1$ и $y_2$, из $y_1 < y_2$ следует, что $g(y_1) > g(y_2)$.

3. Подставим обратно наши обозначения: $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$.

Итак, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(a; b)$ выполняется неравенство $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$. По определению, это означает, что функция $g(f(x))$ является убывающей.

Ответ: функция $g(f(x))$ является убывающей на интервале $(a; b)$.

Что можно сказать о функции g(g(x))?

Рассмотрим сложную функцию $k(x) = g(g(x))$. Для того чтобы эта композиция была корректно определена на интервале $(a; b)$, необходимо, чтобы область значений функции $g(x)$ для $x \in (a;b)$ входила в её область определения. Будем считать это условие выполненным. Проанализируем монотонность, взяв две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(a; b)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x)$ является убывающей по условию, то из $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$. Обозначим значения внутренней функции $g(x)$ как $z_1 = g(x_1)$ и $z_2 = g(x_2)$, тогда получаем $z_1 > z_2$.

2. Теперь применим к этим значениям внешнюю функцию, которая также является функцией $g(x)$. Так как $g(x)$ убывающая, то из $z_1 > z_2$ (что эквивалентно $z_2 < z_1$) следует, что $g(z_1) < g(z_2)$.

3. Подставим обратно наши обозначения: $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$.

Итак, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(a; b)$ выполняется неравенство $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$. По определению, это означает, что функция $g(g(x))$ является возрастающей.

Ответ: функция $g(g(x))$ является возрастающей на интервале $(a; b)$.

20. (2) Обозначим $\varphi (x) = \frac{x-1}{x}$. Докажите, что $\varphi(\varphi(\varphi(x))) = x$.

Для доказательства тождества $\phi(\phi(\phi(x))) = x$ при заданной функции $\phi(x) = \frac{x-1}{x}$, необходимо последовательно вычислить композицию функций.

Шаг 1: Вычислим $\phi(\phi(x))$.
Для этого подставим выражение для $\phi(x)$ вместо $x$ в саму функцию $\phi(x)$:
$\phi(\phi(x)) = \phi\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$
Упростим числитель полученной дроби: $\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в выражение для композиции:
$\phi(\phi(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{-1}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1} = \frac{1}{1-x}$

Шаг 2: Вычислим $\phi(\phi(\phi(x)))$.
Для этого подставим результат предыдущего шага, то есть $\frac{1}{1-x}$, в функцию $\phi(x)$:
$\phi(\phi(\phi(x))) = \phi\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{\frac{1}{1-x} - 1}{\frac{1}{1-x}}$
Снова упростим числитель: $\frac{1}{1-x} - 1 = \frac{1 - (1-x)}{1-x} = \frac{1 - 1 + x}{1-x} = \frac{x}{1-x}$.
Подставим упрощенный числитель в итоговое выражение:
$\phi(\phi(\phi(x))) = \frac{\frac{x}{1-x}}{\frac{1}{1-x}} = \frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{1} = x$

В результате вычислений мы получили, что $\phi(\phi(\phi(x))) = x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\phi(\phi(\phi(x))) = x$ доказано.

21. (2) Пусть $h(x)=-2x+1$, $g(x)=3x+3$

а) Решите неравенство $h(g(x)) \ge h(x)$.

б) Найдите значения, при которых значения функций $g(h(x))$ и $4h(g(x))$ равны между собой?

а) Для решения неравенства $h(g(x)) \ge h(x)$ сначала найдем вид композиции функций $h(g(x))$. Для этого в функцию $h(x) = -2x + 1$ подставим вместо $x$ выражение для $g(x) = 3x + 3$.
$h(g(x)) = h(3x+3) = -2(3x+3)+1$.
Раскроем скобки и упростим:
$-2(3x+3)+1 = -6x - 6 + 1 = -6x - 5$.
Теперь подставим полученное выражение и выражение для $h(x)$ в исходное неравенство:
$-6x - 5 \ge -2x + 1$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а постоянные члены — в другой:
$-5 - 1 \ge -2x + 6x$.
$-6 \ge 4x$.
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства при этом не меняется, так как мы делим на положительное число:
$-\frac{6}{4} \ge x$.
Сократим дробь:
$x \le -\frac{3}{2}$.
Это можно записать в виде интервала $x \in (-\infty; -1.5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5]$.

б) Чтобы найти значения, при которых значения функций $g(h(x))$ и $4h(g(x))$ равны, необходимо решить уравнение $g(h(x)) = 4h(g(x))$.
Сначала найдем вид композиции функций $g(h(x))$. Для этого в функцию $g(x) = 3x + 3$ подставим вместо $x$ выражение для $h(x) = -2x + 1$.
$g(h(x)) = g(-2x+1) = 3(-2x+1) + 3$.
Раскроем скобки и упростим:
$3(-2x+1) + 3 = -6x + 3 + 3 = -6x + 6$.
Из пункта а) мы уже знаем, что $h(g(x)) = -6x - 5$. Тогда выражение для $4h(g(x))$ будет:
$4h(g(x)) = 4(-6x - 5) = -24x - 20$.
Теперь составим и решим уравнение, приравняв полученные выражения:
$g(h(x)) = 4h(g(x))$.
$-6x + 6 = -24x - 20$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$-6x + 24x = -20 - 6$.
$18x = -26$.
Найдем $x$:
$x = -\frac{26}{18}$.
Сократим дробь на 2:
$x = -\frac{13}{9}$.
Ответ: $x = -\frac{13}{9}$.

22. (3) Даны функции $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$ и $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

Решите неравенства:

а) $g(f(x))<0$;

б) $f(g(x))>\frac{1}{2}$;

в) $f(f(x))>f(3)$.

Даны функции $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$ и $f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

a) $g(f(x)) < 0$

Сначала найдем композицию функций $g(f(x))$, подставив выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$.

$g(f(x)) = \frac{f(x)+2}{f(x)+1} = \frac{\frac{x+1}{x+2}+2}{\frac{x+1}{x+2}+1}$

Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на $(x+2)$:

$g(f(x)) = \frac{(\frac{x+1}{x+2}+2)(x+2)}{(\frac{x+1}{x+2}+1)(x+2)} = \frac{x+1+2(x+2)}{x+1+1(x+2)} = \frac{x+1+2x+4}{x+1+x+2} = \frac{3x+5}{2x+3}$

Теперь решим неравенство $g(f(x)) < 0$:

$\frac{3x+5}{2x+3} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Корень числителя: $3x+5=0 \implies x = -\frac{5}{3}$

Корень знаменателя: $2x+3=0 \implies x = -\frac{3}{2}$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$ и $-\frac{3}{2} = -1.5$, то $-\frac{5}{3} < -\frac{3}{2}$.

Выражение $\frac{3x+5}{2x+3}$ отрицательно в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{2})$.

Область определения функции $g(f(x))$ требует, чтобы $x \neq -2$ (из области определения $f(x)$) и $f(x) \neq -1$ (из области определения $g(x)$), что дает $\frac{x+1}{x+2} \neq -1 \implies x+1 \neq -x-2 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$. Полученный интервал удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{2})$

б) $f(g(x)) > \frac{1}{2}$

Найдем композицию функций $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$.

$f(g(x)) = \frac{g(x)+1}{g(x)+2} = \frac{\frac{x+2}{x+1}+1}{\frac{x+2}{x+1}+2}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $(x+1)$:

$f(g(x)) = \frac{(\frac{x+2}{x+1}+1)(x+1)}{(\frac{x+2}{x+1}+2)(x+1)} = \frac{x+2+1(x+1)}{x+2+2(x+1)} = \frac{2x+3}{x+2+2x+2} = \frac{2x+3}{3x+4}$

Решим неравенство $f(g(x)) > \frac{1}{2}$:

$\frac{2x+3}{3x+4} > \frac{1}{2}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x+3}{3x+4} - \frac{1}{2} > 0$

$\frac{2(2x+3) - 1(3x+4)}{2(3x+4)} > 0$

$\frac{4x+6 - 3x - 4}{2(3x+4)} > 0$

$\frac{x+2}{2(3x+4)} > 0$

Это неравенство эквивалентно $\frac{x+2}{3x+4} > 0$. Решим его методом интервалов.

Корни числителя и знаменателя: $x = -2$ и $x = -\frac{4}{3}$.

Выражение положительно при $x < -2$ и при $x > -\frac{4}{3}$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{4}{3}, \infty)$.

Область определения $f(g(x))$ требует, чтобы $x \neq -1$ (из области определения $g(x)$). Так как $-1$ входит в интервал $(-\frac{4}{3}, \infty)$, мы должны исключить эту точку из решения.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{4}{3}, -1) \cup (-1, \infty)$

в) $f(f(x)) > f(3)$

Сначала найдем значение $f(3)$:

$f(3) = \frac{3+1}{3+2} = \frac{4}{5}$

Теперь найдем композицию функций $f(f(x))$:

$f(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x+1}{x+2}+1}{\frac{x+1}{x+2}+2} = \frac{\frac{x+1+x+2}{x+2}}{\frac{x+1+2(x+2)}{x+2}} = \frac{2x+3}{3x+5}$

При этом упрощении мы сократили на $(x+2)$, что предполагает $x \neq -2$. Область определения $f(f(x))$ также требует, чтобы $f(x) \neq -2$, что дает $\frac{x+1}{x+2} \neq -2 \implies x+1 \neq -2x-4 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$. Таким образом, область определения $f(f(x))$ есть $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac{5}{3}\}$.

Решим неравенство $f(f(x)) > f(3)$:

$\frac{2x+3}{3x+5} > \frac{4}{5}$

$\frac{2x+3}{3x+5} - \frac{4}{5} > 0$

$\frac{5(2x+3) - 4(3x+5)}{5(3x+5)} > 0$

$\frac{10x+15 - 12x-20}{5(3x+5)} > 0$

$\frac{-2x-5}{5(3x+5)} > 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{2x+5}{3x+5} < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = -\frac{5}{2}$ и $x = -\frac{5}{3}$.

Выражение отрицательно между корнями, то есть $x \in (-\frac{5}{2}, -\frac{5}{3})$.

Теперь нужно учесть область определения $f(f(x))$. Мы установили, что $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{5}{3}$. Точка $x = -\frac{5}{3}$ уже исключена, так как это конец интервала. Точка $x = -2$ находится внутри интервала $(-\frac{5}{2}, -\frac{5}{3})$, поэтому ее необходимо исключить.

Разделив интервал в точке $x=-2$, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}, -2) \cup (-2, -\frac{5}{3})$

23. (3)

Решите неравенство $g(g(x)) \ge 2$, если $g(x) = \frac{3x-8}{x-3}$.

Для решения данного неравенства $g(g(x)) \ge 2$ найдем вид композиции функций $g(g(x))$.

Функция задана как $g(x) = \frac{3x-8}{x-3}$.

Чтобы найти $g(g(x))$, подставим выражение для $g(x)$ вместо $x$ в саму функцию $g(x)$:

$g(g(x)) = \frac{3 \cdot g(x) - 8}{g(x) - 3} = \frac{3 \left(\frac{3x-8}{x-3}\right) - 8}{\frac{3x-8}{x-3} - 3}$

Упростим числитель и знаменатель полученной многоэтажной дроби. Для этого приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $(x-3)$.

Упрощение числителя:

$3 \left(\frac{3x-8}{x-3}\right) - 8 = \frac{3(3x-8) - 8(x-3)}{x-3} = \frac{9x - 24 - 8x + 24}{x-3} = \frac{x}{x-3}$

Упрощение знаменателя:

$\frac{3x-8}{x-3} - 3 = \frac{3x-8 - 3(x-3)}{x-3} = \frac{3x - 8 - 3x + 9}{x-3} = \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь для $g(g(x))$:

$g(g(x)) = \frac{\frac{x}{x-3}}{\frac{1}{x-3}}$

При делении дробей "переворачиваем" знаменатель и умножаем:

$g(g(x)) = \frac{x}{x-3} \cdot \frac{x-3}{1} = x$

Таким образом, исходное неравенство $g(g(x)) \ge 2$ сводится к простому неравенству $x \ge 2$.

Однако, необходимо учесть область определения (ОДЗ) сложной функции $g(g(x))$.

1. Для существования внутренней функции $g(x)$, знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3 \ne 0$, следовательно, $x \ne 3$.

2. Для существования внешней функции $g(g(x))$, ее аргумент, то есть $g(x)$, не должен быть равен 3. Проверим, при каких значениях $x$ это возможно:

$g(x) = 3$

$\frac{3x-8}{x-3} = 3$

$3x-8 = 3(x-3)$

$3x-8 = 3x-9$

$-8 = -9$

Последнее равенство является неверным, что означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, $g(x)$ никогда не принимает значение 3.

Объединяя условия, получаем, что область определения для $g(g(x))$ — это все действительные числа, кроме $x=3$.

Итак, мы должны найти решение системы:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ne 3 \end{cases}$

Решением этой системы является множество всех чисел, которые больше или равны 2, за исключением числа 3. На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке 2 (включительно), с "выколотой" точкой 3.

В виде объединения промежутков это записывается как $[2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Функции вида $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $c \ne 0$ называются дробно-линейными.

Докажите, что композиция двух любых дробно-линейных функций есть снова дробно-линейная функция.

Пусть даны две произвольные дробно-линейные функции $f(x)$ и $g(x)$. Согласно определению, данному в задаче, они имеют вид:

$f(x) = \frac{a_1x + b_1}{c_1x + d_1}$, где $c_1 \neq 0$.

$g(x) = \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2}$, где $c_2 \neq 0$.

Кроме того, обычно для дробно-линейных функций подразумевается условие невырожденности $ad-bc \neq 0$. Это условие гарантирует, что функция не является константой. Если $ad-bc=0$, то при $c \neq 0$ функция тождественно равна константе $a/c$ (или $b/d$). Мы будем считать, что исходные функции не являются константами, то есть $a_1d_1 - b_1c_1 \neq 0$ и $a_2d_2 - b_2c_2 \neq 0$.

Найдем композицию этих функций $h(x) = f(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$:

$h(x) = f(g(x)) = \frac{a_1 g(x) + b_1}{c_1 g(x) + d_1} = \frac{a_1 \left( \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2} \right) + b_1}{c_1 \left( \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2} \right) + d_1}$

Чтобы избавиться от многоэтажной дроби, умножим числитель и знаменатель на $(c_2x + d_2)$:

$h(x) = \frac{a_1(a_2x + b_2) + b_1(c_2x + d_2)}{c_1(a_2x + b_2) + d_1(c_2x + d_2)}$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$h(x) = \frac{a_1a_2x + a_1b_2 + b_1c_2x + b_1d_2}{c_1a_2x + c_1b_2 + d_1c_2x + d_1d_2} = \frac{(a_1a_2 + b_1c_2)x + (a_1b_2 + b_1d_2)}{(c_1a_2 + d_1c_2)x + (c_1b_2 + d_1d_2)}$

Полученная функция $h(x)$ имеет вид $\frac{Ax+B}{Cx+D}$, где новые коэффициенты равны:

$A = a_1a_2 + b_1c_2$

$B = a_1b_2 + b_1d_2$

$C = c_1a_2 + d_1c_2$

$D = c_1b_2 + d_1d_2$

Чтобы доказать, что $h(x)$ является дробно-линейной функцией, необходимо показать, что она удовлетворяет определению, то есть коэффициент при $x$ в знаменателе, $C$, не равен нулю.

Сначала убедимся, что результирующая функция не является константой, то есть $AD-BC \neq 0$. Можно показать, что определитель матрицы коэффициентов композиции равен произведению определителей исходных матриц:

$AD-BC = (a_1d_1 - b_1c_1)(a_2d_2 - b_2c_2)$

Поскольку мы предположили, что $a_1d_1 - b_1c_1 \neq 0$ и $a_2d_2 - b_2c_2 \neq 0$, их произведение также не равно нулю. Значит, функция $h(x)$ не является константой.

Теперь рассмотрим коэффициент $C = c_1a_2 + d_1c_2$. В общем случае он не равен нулю. Однако можно подобрать такие дробно-линейные функции, для которых $C$ обратится в ноль. Это произойдет, если $a_2/c_2 = -d_1/c_1$ (так как $c_1, c_2 \neq 0$). Геометрически это означает, что горизонтальная асимптота функции $g(x)$ совпадает со значением, в котором находится вертикальная асимптота функции $f(x)$.

Приведем пример. Пусть:

$f(x) = \frac{x}{x+1}$ ($a_1=1, b_1=0, c_1=1, d_1=1$)

$g(x) = \frac{-x+1}{x+2}$ ($a_2=-1, b_2=1, c_2=1, d_2=2$)

Обе функции удовлетворяют определению дробно-линейной функции ($c_1=1 \neq 0, c_2=1 \neq 0$) и являются невырожденными ($a_1d_1-b_1c_1=1 \neq 0$, $a_2d_2-b_2c_2=-3 \neq 0$).

Их композиция:

$h(x) = f(g(x)) = \frac{g(x)}{g(x)+1} = \frac{\frac{-x+1}{x+2}}{\frac{-x+1}{x+2}+1} = \frac{-x+1}{-x+1+x+2} = \frac{-x+1}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

Результирующая функция является линейной. В общем виде $\frac{Ax+B}{Cx+D}$ она записывается как $\frac{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}{0x+1}$, где коэффициент $C=0$. Согласно определению из условия ($c \neq 0$), эта функция не является дробно-линейной.

Следовательно, утверждение, что композиция двух *любых* дробно-линейных функций есть *снова* дробно-линейная функция, не совсем корректно при строгом следовании определению.

Ответ:Композиция двух дробно-линейных функций $f(x) = \frac{a_1x + b_1}{c_1x + d_1}$ и $g(x) = \frac{a_2x + b_2}{c_2x + d_2}$ (где $c_1, c_2 \neq 0$ и $a_id_i - b_ic_i \neq 0$) является функцией вида $h(x) = \frac{Ax+B}{Cx+D}$, где $A=a_1a_2+b_1c_2$, $B=a_1b_2+b_1d_2$, $C=c_1a_2+d_1c_2$, $D=c_1b_2+d_1d_2$. Эта функция всегда невырожденная ($AD-BC \neq 0$). Однако коэффициент $C$ может быть равен нулю. Если $C \neq 0$, то композиция является дробно-линейной функцией. Если $C = 0$, то композиция является линейной функцией, которая не удовлетворяет условию $c \neq 0$ из определения дробно-линейной функции. Таким образом, утверждение задачи верно только для тех пар функций, для которых $c_1a_2 + d_1c_2 \neq 0$.

25. (2) Даны функции $g(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

При каких значениях значение функции $f(g(x))$ меньше нуля?

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $f(g(x))$ принимает отрицательные значения, необходимо сначала составить выражение для композиции функций $f(g(x))$, а затем решить неравенство $f(g(x)) < 0$.

Нам даны две функции: $g(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Первым шагом упростим выражение для функции $f(x)$. Можно заметить, что оно представляет собой формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем случае $a=x$ и $b=1$, поэтому:

$f(x) = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = (x+1)^3$.

Теперь найдем композитную функцию $f(g(x))$. Для этого подставим функцию $g(x)$ в качестве аргумента в упрощенное выражение для $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x) + 1)^3$.

Подставляем $g(x) = \frac{1}{x}$:

$f(g(x)) = \left(\frac{1}{x} + 1\right)^3$.

Далее, согласно условию задачи, нам нужно найти значения $x$, при которых $f(g(x)) < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\left(\frac{1}{x} + 1\right)^3 < 0$.

Возведение в нечетную степень (в данном случае в куб) не меняет знак выражения. Следовательно, данное неравенство равносильно более простому неравенству:

$\frac{1}{x} + 1 < 0$.

Для решения этого неравенства приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 + x}{x} < 0$.

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это $x = -1$ (из числителя $1+x=0$) и $x = 0$ (из знаменателя). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из интервалов:

1. Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем пробную точку $x=-2$. Значение дроби будет $\frac{1+(-2)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$.

2. Для интервала $(-1; 0)$ возьмем пробную точку $x=-0.5$. Значение дроби будет $\frac{1+(-0.5)}{-0.5} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0$.

3. Для интервала $(0; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=1$. Значение дроби будет $\frac{1+1}{1} = 2 > 0$.

Нас интересует интервал, на котором выражение меньше нуля. Из анализа знаков следует, что это интервал $(-1; 0)$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

26. (2)
Известно, что решениями уравнения $f(x)=7$ являются числа $\{-9, 6, 5, 8\}$. Найдите корни уравнения $f(3x)=7$.

По условию задачи известно, что уравнение $f(x) = 7$ имеет корни $x_1 = -9$, $x_2 = 6$, $x_3 = 5$ и $x_4 = 8$. Это означает, что функция $f$ принимает значение $7$ только тогда, когда ее аргумент равен одному из этих чисел.

Рассмотрим уравнение $f(3x) = 7$. Чтобы это равенство было верным, аргумент функции, который в данном случае равен $3x$, должен быть равен одному из корней исходного уравнения. Таким образом, мы можем составить четыре новых уравнения для нахождения корней $f(3x) = 7$:

1. $3x = -9$
$x = \frac{-9}{3}$
$x = -3$

2. $3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

3. $3x = 5$
$x = \frac{5}{3}$

4. $3x = 8$
$x = \frac{8}{3}$

Следовательно, решениями уравнения $f(3x) = 7$ являются найденные значения $x$.
Ответ: $\{-3, 2, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\}$

27. (3) Известно, что естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ есть множество $(-4;4) \cup [9;16]$. Найдите естественную область определения функции $h(x) = f(x^2)$.

Естественная область определения $D(f)$ для функции $f(x)$ задана как объединение множеств: $D(f) = (-4; 4) \cup [9; 16]$.Функция $h(x) = f(x^2)$ определена тогда и только тогда, когда ее аргумент $x^2$ принадлежит области определения функции $f$.Таким образом, мы должны найти все значения $x$, для которых выполняется условие: $x^2 \in (-4; 4) \cup [9; 16]$.

Это условие равносильно совокупности, то есть мы должны рассмотреть два случая:
1) $x^2 \in (-4; 4)$
2) $x^2 \in [9; 16]$

Рассмотрим первый случай: $x^2 \in (-4; 4)$. Это эквивалентно двойному неравенству $-4 < x^2 < 4$.Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, левая часть неравенства, $x^2 > -4$, всегда верна.Следовательно, нам остается решить неравенство $x^2 < 4$.
$x^2 - 4 < 0$
$(x-2)(x+2) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2; 2)$.

Рассмотрим второй случай: $x^2 \in [9; 16]$. Это эквивалентно системе двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 \ge 9 \\ x^2 \le 16 \end{cases}$
Решением первого неравенства, $x^2 \ge 9$ (или $x^2-9 \ge 0$), является множество $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.
Решением второго неравенства, $x^2 \le 16$ (или $x^2-16 \le 0$), является отрезок $[-4; 4]$.
Решение системы — это пересечение этих двух множеств: $((-\infty; -3] \cup [3; \infty)) \cap [-4; 4]$.
Вычисляя пересечение, получаем объединение отрезков: $[-4; -3] \cup [3; 4]$.

Итоговая область определения $D(h)$ функции $h(x)$ является объединением решений, найденных в обоих случаях.
$D(h) = (-2; 2) \cup ([-4; -3] \cup [3; 4])$
Упорядочив интервалы по возрастанию, получаем окончательный результат.
Ответ: $D(h) = [-4; -3] \cup (-2; 2) \cup [3; 4]$.