Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1.

(1) $f(x)=x+5.$

(1) Задана функция $f(x) = x + 5$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=1$ и свободный член (пересечение с осью OY) $b=5$. Поскольку конкретный вопрос отсутствует, проведем полный анализ свойств этой функции. Область определения и область значений. Область определения $D(f)$ — это множество всех действительных чисел, так как функция является многочленом: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(f)$ также является множеством всех действительных чисел, поскольку угловой коэффициент $k=1 \neq 0$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью OY подставим $x=0$: $f(0) = 0+5=5$. Точка пересечения — $(0, 5)$. Для нахождения точки пересечения с осью OX (нуля функции) решим уравнение $f(x)=0$: $x+5=0$, откуда следует $x=-5$. Точка пересечения — $(-5, 0)$. Монотонность и экстремумы. Так как угловой коэффициент $k=1>0$, функция является строго возрастающей на всей области определения. Экстремумы (максимумы и минимумы) у данной линейной функции отсутствуют. Обратная функция. Чтобы найти обратную функцию $f^{-1}(x)$, положим $y = x+5$. Выразим $x$ через $y$: $x = y-5$. Заменив $y$ на $x$ для стандартной записи, получаем $f^{-1}(x) = x-5$. Производная и интеграл. Производная функции: $f'(x) = (x+5)' = (x)' + (5)' = 1+0=1$. Неопределенный интеграл функции: $\int (x+5)dx = \frac{x^2}{2} + 5x+C$, где $C$ — постоянная интегрирования. Ответ: Функция $f(x) = x+5$ является возрастающей линейной функцией, график которой представляет собой прямую, проходящую через точки $(-5, 0)$ и $(0, 5)$. Область определения и область значений — все действительные числа, $\mathbb{R}$. Обратная функция $f^{-1}(x) = x-5$. Производная $f'(x) = 1$.

2. (1)

$f(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1.$

(1)

Поскольку в задаче не указано, что именно нужно сделать с функцией, наиболее вероятным и стандартным заданием в данном случае является нахождение её производной. Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1$.

Для нахождения производной $f'(x)$ будем использовать следующие правила дифференцирования:
1. Правило для степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
2. Производная суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
3. Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
4. Производная константы: $(c)' = 0$.

Представим функцию в виде $f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1$.

Теперь найдем производную, дифференцируя функцию почленно, используя правило производной суммы/разности:
$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 1)'$
$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5)' + (\frac{1}{4}x^4)' + (\frac{1}{3}x^3)' - (\frac{1}{2}x^2)' + (1)'$

Применим правило для степенной функции и правило вынесения константы к каждому слагаемому:
$(\frac{1}{5}x^5)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = x^4$
$(\frac{1}{4}x^4)' = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$
$(\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$
$(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$

Производная константы (в данном случае 1) равна нулю:
$(1)' = 0$

Теперь соберем все полученные производные вместе:
$f'(x) = x^4 + x^3 + x^2 - x + 0$
$f'(x) = x^4 + x^3 + x^2 - x$

Ответ: $f'(x) = x^4 + x^3 + x^2 - x$.

3. (2) $f(x) = \frac{x^2+2x}{2x-6}$.

Задача заключается в проведении полного исследования функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{2x - 6}$ и построении ее графика.

1. Область определения функции

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль.
Найдем нули знаменателя:
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$f(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0}{2 \cdot 0 - 6} = \frac{0}{-6} = 0$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0; 0)$.
Пересечение с осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x) = 0$:
$\frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Оба значения принадлежат области определения функции.
Точки пересечения с осью Ox — $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 2(-x)}{2(-x) - 6} = \frac{x^2 - 2x}{-2x - 6} = \frac{x^2 - 2x}{-(2x + 6)}$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.
Ответ: Функция общего вида.

4. Асимптоты

Вертикальная асимптота:
Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции, то есть при $x=3$. Найдем односторонние пределы при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3}{2(3-0) - 6} = \frac{15}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3}{2(3+0) - 6} = \frac{15}{+0} = +\infty$
Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.
Наклонная асимптота:
Так как степень многочлена в числителе (2) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (1), у графика есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$.
Найдем коэффициенты $k$ и $b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x}{x(2x - 6)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 - 6x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2/x}{2 - 6/x} = \frac{1}{2}$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 2x}{2x - 6} - \frac{1}{2}x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2(x^2 + 2x) - x(2x - 6)}{2(2x - 6)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 4x - 2x^2 + 6x}{4x - 12} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{10x}{4x - 12} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
Уравнение наклонной асимптоты: $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=3$. Наклонная асимптота: $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 + 2x}{2x - 6}\right)' = \frac{(2x+2)(2x-6) - (x^2+2x)(2)}{(2x-6)^2} = \frac{4x^2 - 12x + 4x - 12 - 2x^2 - 4x}{(2(x-3))^2} = \frac{2x^2 - 12x - 12}{4(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 6}{2(x-3)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Знак производной зависит только от числителя:
$x^2 - 6x - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 3 \pm \sqrt{15}$.
Критические точки: $x_1 = 3 - \sqrt{15} \approx -0.87$ и $x_2 = 3 + \sqrt{15} \approx 6.87$.
Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; 3-\sqrt{15})$, $(3-\sqrt{15}; 3)$, $(3; 3+\sqrt{15})$, $(3+\sqrt{15}; +\infty)$.
• На интервале $(-\infty; 3-\sqrt{15})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(3-\sqrt{15}; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3; 3+\sqrt{15})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3+\sqrt{15}; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x = 3 - \sqrt{15}$ является точкой локального максимума. $y_{max} = f(3 - \sqrt{15}) = \frac{(3 - \sqrt{15})^2 + 2(3 - \sqrt{15})}{2(3 - \sqrt{15}) - 6} = 4 - \sqrt{15} \approx 0.13$.
Точка $x = 3 + \sqrt{15}$ является точкой локального минимума. $y_{min} = f(3 + \sqrt{15}) = \frac{(3 + \sqrt{15})^2 + 2(3 + \sqrt{15})}{2(3 + \sqrt{15}) - 6} = 4 + \sqrt{15} \approx 7.87$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 3-\sqrt{15}] \cup [3+\sqrt{15}; +\infty)$. Функция убывает на $[3-\sqrt{15}; 3) \cup (3; 3+\sqrt{15}]$. Точка максимума: $(3 - \sqrt{15}; 4 - \sqrt{15})$. Точка минимума: $(3 + \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15})$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = \left(\frac{x^2 - 6x - 6}{2(x-3)^2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-6)(x-3)^2 - (x^2-6x-6) \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4} = \frac{2(x-3)^3 - 2(x-3)(x^2-6x-6)}{2(x-3)^4} = \frac{(x-3)^2 - (x^2-6x-6)}{(x-3)^3} = \frac{x^2-6x+9-x^2+6x+6}{(x-3)^3} = \frac{15}{(x-3)^3}$.
Вторая производная нигде не равна нулю, следовательно, точек перегиба у графика нет.
Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x-3)^3$:
• На интервале $(-\infty; 3)$: $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(3; +\infty)$: $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Ответ: Точек перегиба нет. График выпуклый вверх на $(-\infty; 3)$ и выпуклый вниз на $(3; +\infty)$.

4.

(2) $f(x) = \frac{1-x^9}{1-x^3}$.

Для анализа данной функции $f(x) = \frac{1-x^9}{1-x^3}$ выполним следующие шаги: найдем область определения, упростим выражение и исследуем поведение функции в точке разрыва.

1. Нахождение области определения

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем эти значения.

Приравняем знаменатель к нулю:

$1 - x^3 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x=1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1. В виде интервалов это записывается как $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Для упрощения дроби разложим числитель на множители. Выражение $1-x^9$ можно рассматривать как разность кубов, так как $x^9 = (x^3)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a=1$ и $b=x^3$. Получаем:

$1 - x^9 = 1^3 - (x^3)^3 = (1 - x^3)(1^2 + 1 \cdot x^3 + (x^3)^2) = (1 - x^3)(1 + x^3 + x^6)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в функцию:

$f(x) = \frac{(1 - x^3)(1 + x^3 + x^6)}{1 - x^3}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, то выражение $1 - x^3$ не равно нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на $(1-x^3)$:

$f(x) = 1 + x^3 + x^6$

Это выражение является упрощенной формой функции $f(x)$ для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: Для всех $x \neq 1$ функция задается формулой $f(x) = 1 + x^3 + x^6$.

3. Анализ точки разрыва

Мы выяснили, что в точке $x=1$ функция имеет разрыв. Чтобы определить тип этого разрыва, найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1.

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1-x^9}{1-x^3}$

Для вычисления предела удобнее использовать упрощенное выражение функции, так как оно совпадает с исходным во всех точках, кроме $x=1$:

$\lim_{x \to 1} (1 + x^3 + x^6) = 1 + 1^3 + 1^6 = 1 + 1 + 1 = 3$

Поскольку предел функции в точке $x=1$ существует и конечен (равен 3), а сама функция в этой точке не определена, то $x=1$ является точкой устранимого разрыва. График функции $f(x)$ совпадает с графиком полинома $y = 1 + x^3 + x^6$, за исключением одной "выколотой" точки с координатами $(1, 3)$.

Ответ: В точке $x=1$ функция имеет устранимый разрыв. Предел функции в этой точке равен 3.

5.

$f(x) = (5x^2 - 8x + 2)^5$

(2) Для нахождения производной функции $f(x) = (5x^2 - 8x + 2)^5$ мы применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Правило гласит, что производная композиции функций $f(x) = g(h(x))$ вычисляется по формуле $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, определим внешнюю и внутреннюю функции:
Внешняя функция: $g(u) = u^5$.
Внутренняя функция: $h(x) = 5x^2 - 8x + 2$.
Сначала найдем производную внешней функции $g(u)$ по ее аргументу $u$:
$g'(u) = (u^5)' = 5u^4$.
Затем найдем производную внутренней функции $h(x)$ по переменной $x$:
$h'(x) = (5x^2 - 8x + 2)' = (5x^2)' - (8x)' + (2)' = 5 \cdot 2x - 8 \cdot 1 + 0 = 10x - 8$.
Теперь подставим найденные производные и выражения для функций в цепное правило:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 5(5x^2 - 8x + 2)^4 \cdot (10x - 8)$.
Полученное выражение можно упростить, вынеся общий множитель 2 из скобки $(10x - 8)$:
$f'(x) = 5(5x^2 - 8x + 2)^4 \cdot 2(5x - 4)$.
Перемножив константы, получим окончательный вид производной:
$f'(x) = 10(5x - 4)(5x^2 - 8x + 2)^4$.
Ответ: $f'(x) = 10(5x - 4)(5x^2 - 8x + 2)^4$.

6. (2) $f(x) = \frac{3-x}{(x+7)^2}$.

Для функции $f(x) = \frac{3-x}{(x+7)^2}$ проведем полное исследование.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$(x+7)^2 \neq 0$

$x+7 \neq 0$

$x \neq -7$

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (x=0):

$f(0) = \frac{3-0}{(0+7)^2} = \frac{3}{49}$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{3}{49})$.

Пересечение с осью Ox (y=f(x)=0):

$\frac{3-x}{(x+7)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$3-x=0 \implies x=3$.

Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{3}{49})$. Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

3. Асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота:

Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва $x=-7$. Найдем предел функции при приближении к этой точке:

$\lim_{x \to -7} f(x) = \lim_{x \to -7} \frac{3-x}{(x+7)^2} = \frac{3-(-7)}{(0)^2} = \frac{10}{+0} = +\infty$.

Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=-7$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x}{(x+7)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x}{x^2+14x+49} = 0$.

Предел равен нулю, так как степень многочлена в знаменателе (2) выше степени многочлена в числителе (1). Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-7$, горизонтальная асимптота $y=0$.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(3-x)'(x+7)^2 - (3-x)((x+7)^2)'}{((x+7)^2)^2} = \frac{-1(x+7)^2 - (3-x) \cdot 2(x+7)}{(x+7)^4}$

Упростим выражение, сократив на $(x+7)$:

$f'(x) = \frac{-(x+7) - 2(3-x)}{(x+7)^3} = \frac{-x-7-6+2x}{(x+7)^3} = \frac{x-13}{(x+7)^3}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю ($f'(x)=0$) и найдя точки, где она не существует.

$f'(x)=0 \implies x-13=0 \implies x=13$.

Производная не существует при $x=-7$, что совпадает с точкой разрыва.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, 13)$ и $(13, +\infty)$:

• Интервал $(-\infty, -7)$: $f'(-8) = \frac{-8-13}{(-8+7)^3} = \frac{-21}{-1} = 21 > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(-7, 13)$: $f'(0) = \frac{0-13}{(0+7)^3} = -\frac{13}{343} < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(13, +\infty)$: $f'(14) = \frac{14-13}{(14+7)^3} = \frac{1}{21^3} > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=13$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$f(13) = \frac{3-13}{(13+7)^2} = \frac{-10}{20^2} = \frac{-10}{400} = -\frac{1}{40}$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -7)$ и $(13; +\infty)$, убывает на $(-7; 13)$. Точка локального минимума: $(13, -\frac{1}{40})$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left(\frac{x-13}{(x+7)^3}\right)' = \frac{(x-13)'(x+7)^3 - (x-13)((x+7)^3)'}{((x+7)^3)^2} = \frac{1(x+7)^3 - (x-13) \cdot 3(x+7)^2}{(x+7)^6}$

Упростим выражение, сократив на $(x+7)^2$:

$f''(x) = \frac{(x+7) - 3(x-13)}{(x+7)^4} = \frac{x+7-3x+39}{(x+7)^4} = \frac{-2x+46}{(x+7)^4} = \frac{-2(x-23)}{(x+7)^4}$

Найдем точки, где $f''(x)=0$ или не существует.

$f''(x)=0 \implies -2(x-23)=0 \implies x=23$.

Вторая производная не существует при $x=-7$.

Знаменатель $(x+7)^4$ всегда положителен при $x \neq -7$, поэтому знак $f''(x)$ определяется знаком числителя $-2(x-23)$.

• Интервал $(-\infty, 23)$ (включая $(-\infty, -7)$ и $(-7, 23)$): $f''(0) = \frac{46}{7^4} > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз).
• Интервал $(23, +\infty)$: $f''(24) = \frac{-2(24-23)}{(24+7)^4} < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=23$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке:

$f(23) = \frac{3-23}{(23+7)^2} = \frac{-20}{30^2} = \frac{-20}{900} = -\frac{1}{45}$.

Ответ: График вогнутый на $(-\infty; -7)$ и $(-7; 23)$, выпуклый на $(23; +\infty)$. Точка перегиба: $(23, -\frac{1}{45})$.

7. (2) $f(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$

Проведем полное исследование функции $f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$.

1. Область определения функции

Функция является рациональной. Её область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем эти значения, решив уравнение: $(x+1)^2 = 0$.

$x+1=0 \implies x=-1$.

Таким образом, функция не определена в точке $x=-1$.

Ответ: Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy), подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = \frac{(0-1)^2}{(0+1)^2} = \frac{(-1)^2}{1^2} = 1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0 \implies \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

3. Исследование на четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2} = \frac{(-(x+1))^2}{(-(x-1))^2} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида, её график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. В нашем случае это точка $x=-1$. Найдем односторонние пределы при $x \to -1$:

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(-1-1)^2}{(-1+1)^2} = \frac{4}{0}$.

Поскольку знаменатель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен, он стремится к $0$ справа ($0^+$) при приближении $x$ к $-1$ как слева, так и справа. Поэтому:

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$.

Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2+2x+1}$.

Поскольку степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{1} = 1$.

Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$.

Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = \left( \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 \right)' = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \left(\frac{x-1}{x+1}\right)' = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{1(x+1) - (x-1)1}{(x+1)^2} = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{4(x-1)}{(x+1)^3}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и найдя точки, где она не существует. $f'(x) = 0$ при $x=1$. $f'(x)$ не существует при $x=-1$ (точка разрыва).

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Для $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(-2) = \frac{4(-3)}{(-1)^3} = 12 > 0$), значит функция возрастает.

Для $x \in (-1; 1)$, $f'(x) < 0$ (например, $f'(0) = \frac{4(-1)}{(1)^3} = -4 < 0$), значит функция убывает.

Для $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(2) = \frac{4(1)}{(3)^3} = \frac{4}{27} > 0$), значит функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 0$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-1; 1)$. Точка локального минимума: $(1, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции $f''(x)$:

$f''(x) = \left( \frac{4(x-1)}{(x+1)^3} \right)' = \frac{4(x+1)^3 - 4(x-1) \cdot 3(x+1)^2}{((x+1)^3)^2} = \frac{4(x+1)^2((x+1) - 3(x-1))}{(x+1)^6} = \frac{4(x+1-3x+3)}{(x+1)^4} = \frac{4(-2x+4)}{(x+1)^4} = \frac{-8(x-2)}{(x+1)^4}$.

Найдем точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует. $f''(x)=0$ при $x=2$. $f''(x)$ не существует при $x=-1$.

Исследуем знак второй производной. Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен (кроме $x=-1$). Знак $f''(x)$ определяется знаком выражения $-8(x-2)$.

Для $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (-1; 2)$, $f''(x)>0$ (например, $f''(0) = \frac{-8(-2)}{1} = 16 > 0$), значит на этих интервалах график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Для $x \in (2; +\infty)$, $f''(x)<0$ (например, $f''(3) = \frac{-8(1)}{4^4} < 0$), значит на этом интервале график функции выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем её координаты: $f(2) = \frac{(2-1)^2}{(2+1)^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: График функции вогнутый (выпуклый вниз) на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$, выпуклый (выпуклый вверх) на промежутке $(2; +\infty)$. Точка перегиба: $(2, \frac{1}{9})$.

8. (2) Решите уравнение $f'(x)=0$, если:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x.$

Для решения уравнения $f'(x)=0$, необходимо сначала найти производную функции $f(x)$.

Исходная функция: $f(x)=\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x$.

Находим производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования для каждого слагаемого. Правило для степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' + (2x^2)' + (3x)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1}$

$f'(x) = x^2 + 4x + 3$

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=4, c=3$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, корнями уравнения являются $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: $-3; -1$.

9. (2) Решите уравнение $f'(x) = g'(x)$, если:

$f(x)=4x^3+12x^2$, $g(x)=5x^3+8x^2$.

Для решения уравнения $f'(x) = g'(x)$ необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем приравнять их и решить полученное уравнение.

Даны функции: $f(x) = 4x^3 + 12x^2$ и $g(x) = 5x^3 + 8x^2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (4x^3 + 12x^2)' = (4x^3)' + (12x^2)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 12 \cdot 2x^{2-1} = 12x^2 + 24x$.

2. Аналогично найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (5x^3 + 8x^2)' = (5x^3)' + (8x^2)' = 5 \cdot 3x^{3-1} + 8 \cdot 2x^{2-1} = 15x^2 + 16x$.

3. Теперь составим и решим уравнение $f'(x) = g'(x)$:
$12x^2 + 24x = 15x^2 + 16x$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$15x^2 - 12x^2 + 16x - 24x = 0$
$3x^2 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
или
$3x - 8 = 0 \implies 3x = 8 \implies x_2 = \frac{8}{3}$

Ответ: $0; \frac{8}{3}$.

10. (3) Решите неравенство $f'(x) < g'(x)$, если:

$f(x)=3x^3 + 21x^2 + 5x - 7, g(x)=2x^3 + 8x^2 + 5x + 11.$

Для решения неравенства $f'(x) < g'(x)$ необходимо сначала найти производные заданных функций: $f(x) = 3x^3 + 21x^2 + 5x - 7$ и $g(x) = 2x^3 + 8x^2 + 5x + 11$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:$f'(x) = (3x^3 + 21x^2 + 5x - 7)' = 3 \cdot 3x^{3-1} + 21 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 9x^2 + 42x + 5$.

2. Аналогично найдем производную функции $g(x)$:$g'(x) = (2x^3 + 8x^2 + 5x + 11)' = 2 \cdot 3x^{3-1} + 8 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 6x^2 + 16x + 5$.

3. Теперь подставим найденные производные в исходное неравенство $f'(x) < g'(x)$:$9x^2 + 42x + 5 < 6x^2 + 16x + 5$.

4. Решим полученное квадратное неравенство. Для этого перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:$(9x^2 - 6x^2) + (42x - 16x) + (5 - 5) < 0$$3x^2 + 26x < 0$.

5. Для решения неравенства $3x^2 + 26x < 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 26x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(3x + 26) = 0$.Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{26}{3}$.

6. Мы получили квадратное неравенство $3x^2 + 26x < 0$. Графиком функции $y = 3x^2 + 26x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{26}{3}, 0)$.

Ответ: $x \in (-\frac{26}{3}; 0)$.

11. (3) Решите неравенство $\frac{f'(x)}{g'(x)} < 0$, если:

$f(x)=11x^3-11x^2+9$, $g(x)=4x^3+5x^2-17$

Для решения неравенства $\frac{f'(x)}{g'(x)} < 0$ необходимо сначала найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = 11x^3 - 11x^2 + 9$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (11x^3 - 11x^2 + 9)' = 11 \cdot 3x^{3-1} - 11 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 33x^2 - 22x$.

Далее найдем производную функции $g(x) = 4x^3 + 5x^2 - 17$.

Аналогично находим ее производную:

$g'(x) = (4x^3 + 5x^2 - 17)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 12x^2 + 10x$.

Теперь составим и решим неравенство. Подставляем найденные производные в исходное неравенство:

$\frac{33x^2 - 22x}{12x^2 + 10x} < 0$

Для решения этого рационального неравенства разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $33x^2 - 22x = 11x(3x - 2)$.

Знаменатель: $12x^2 + 10x = 2x(6x + 5)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{11x(3x - 2)}{2x(6x + 5)} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$g'(x) \neq 0 \implies 12x^2 + 10x \neq 0 \implies 2x(6x + 5) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -\frac{5}{6}$.

При условии $x \neq 0$ мы можем сократить дробь на общий множитель $x$:

$\frac{11(3x - 2)}{2(6x + 5)} < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $(3x - 2)(6x + 5) < 0$, так как константа $\frac{11}{2}$ положительна и не влияет на знак.

Решим его методом интервалов. Найдем корни сомножителей:

$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$.

$6x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{6}$.

Корни $-\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y = (3x-2)(6x+5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства $(3x - 2)(6x + 5) < 0$ является интервал $x \in (-\frac{5}{6}, \frac{2}{3})$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq 0$. Точка $x=0$ попадает в найденный интервал $(-\frac{5}{6}, \frac{2}{3})$, поэтому ее нужно исключить из решения.

Таким образом, окончательное решение неравенства представляет собой объединение двух интервалов: $(-\frac{5}{6}, 0)$ и $(0, \frac{2}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{6}, 0) \cup (0, \frac{2}{3})$

12. (3) Решите систему неравенств $\begin{cases} f'(x)>0 \\ g'(x)\le0 \end{cases}$; если:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-16x+18, g(x)=\frac{1}{3}x^3-8x^2+21.$

Для решения данной системы неравенств необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем решить соответствующие неравенства и найти пересечение их решений.

1. Найдем производную функции $f(x)$ и решим неравенство $f'(x) > 0$

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 16x + 18$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 16x + 18)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 16 \cdot 1x^{1-0} + 0 = x^2 - 16$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x^2 - 16 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 4)(x + 4) > 0$

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением первого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $g(x)$ и решим неравенство $g'(x) \le 0$

Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 21$.

Найдем ее производную:

$g'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 21)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = x^2 - 16x$.

Теперь решим неравенство $g'(x) \le 0$:

$x^2 - 16x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 16) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x - 16) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$. Графиком функции $y = x^2 - 16x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решением второго неравенства является отрезок: $x \in [0; 16]$.

3. Найдем решение системы неравенств

Нам необходимо найти пересечение множеств решений, полученных на предыдущих шагах: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$ и $x \in [0; 16]$.

Искомое решение — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Найдем пересечение этих множеств.

Множество $(-\infty; -4)$ не имеет общих точек с отрезком $[0; 16]$.

Пересечение множества $(4; +\infty)$ и отрезка $[0; 16]$ есть полуинтервал $(4; 16]$.

Таким образом, общее решение системы неравенств — это $x \in (4; 16]$.

Ответ: $(4; 16]$.

13. (2)

Укажите число целых решений неравенства $f'(x)\le 0$, если:

$f(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{16x^3}{3}$.

Для того чтобы найти число целых решений неравенства $f'(x) \le 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{16x^3}{3}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(\frac{x^5}{5} - \frac{16x^3}{3}\right)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' - \frac{16}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{16}{3} \cdot 3x^2 = x^4 - 16x^2$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$x^4 - 16x^2 \le 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) \le 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неположительным, то есть:

$x^2 - 16 \le 0$

Перенесем 16 в правую часть:

$x^2 \le 16$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-\sqrt{16} \le x \le \sqrt{16}$

$-4 \le x \le 4$

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-4, 4]$.

Теперь необходимо найти все целые числа, которые принадлежат этому отрезку. Это числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Подсчитаем их количество. Всего таких чисел 9.

Ответ: 9

14. (2) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y=x^3-3x$ принимает положительные значения.

Чтобы найти значения аргумента, при которых производная функции положительна, сначала необходимо найти саму производную.

1. Нахождение производной функции
Дана функция: $y = x^3 - 3x$.
Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования: $(u-v)' = u' - v'$ и $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
$y' = (x^3 - 3x)' = (x^3)' - (3x)' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3x^2 - 3$.
Итак, производная функции равна $y' = 3x^2 - 3$.

2. Решение неравенства
Теперь найдем значения аргумента $x$, при которых производная принимает положительные значения. Для этого решим неравенство $y' > 0$.
$3x^2 - 3 > 0$
Разделим обе части неравенства на 3, чтобы упростить его:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x - 1)(x + 1) > 0$

3. Метод интервалов
Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$.
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Отметим точки -1 и 1 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ на каждом интервале:
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2-1)(2+1) = 1 \cdot 3 = 3 > 0$. Знак «+».
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0-1)(0+1) = -1 \cdot 1 = -1 < 0$. Знак «-».
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2-1)(-2+1) = (-3)(-1) = 3 > 0$. Знак «+».
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком «+».

Таким образом, производная функции положительна при $x < -1$ или $x > 1$. В виде интервалов это записывается как $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.