Номер 7, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) $f(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$

Проведем полное исследование функции $f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$.

1. Область определения функции

Функция является рациональной. Её область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем эти значения, решив уравнение: $(x+1)^2 = 0$.

$x+1=0 \implies x=-1$.

Таким образом, функция не определена в точке $x=-1$.

Ответ: Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy), подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = \frac{(0-1)^2}{(0+1)^2} = \frac{(-1)^2}{1^2} = 1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0 \implies \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$(x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

3. Исследование на четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2} = \frac{(-(x+1))^2}{(-(x-1))^2} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида, её график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. В нашем случае это точка $x=-1$. Найдем односторонние пределы при $x \to -1$:

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(-1-1)^2}{(-1+1)^2} = \frac{4}{0}$.

Поскольку знаменатель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен, он стремится к $0$ справа ($0^+$) при приближении $x$ к $-1$ как слева, так и справа. Поэтому:

$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$.

Следовательно, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2+2x+1}$.

Поскольку степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{1} = 1$.

Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$.

Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = \left( \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 \right)' = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \left(\frac{x-1}{x+1}\right)' = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{1(x+1) - (x-1)1}{(x+1)^2} = 2\frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{4(x-1)}{(x+1)^3}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и найдя точки, где она не существует. $f'(x) = 0$ при $x=1$. $f'(x)$ не существует при $x=-1$ (точка разрыва).

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Для $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(-2) = \frac{4(-3)}{(-1)^3} = 12 > 0$), значит функция возрастает.

Для $x \in (-1; 1)$, $f'(x) < 0$ (например, $f'(0) = \frac{4(-1)}{(1)^3} = -4 < 0$), значит функция убывает.

Для $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(2) = \frac{4(1)}{(3)^3} = \frac{4}{27} > 0$), значит функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 0$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-1; 1)$. Точка локального минимума: $(1, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции $f''(x)$:

$f''(x) = \left( \frac{4(x-1)}{(x+1)^3} \right)' = \frac{4(x+1)^3 - 4(x-1) \cdot 3(x+1)^2}{((x+1)^3)^2} = \frac{4(x+1)^2((x+1) - 3(x-1))}{(x+1)^6} = \frac{4(x+1-3x+3)}{(x+1)^4} = \frac{4(-2x+4)}{(x+1)^4} = \frac{-8(x-2)}{(x+1)^4}$.

Найдем точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует. $f''(x)=0$ при $x=2$. $f''(x)$ не существует при $x=-1$.

Исследуем знак второй производной. Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен (кроме $x=-1$). Знак $f''(x)$ определяется знаком выражения $-8(x-2)$.

Для $x \in (-\infty; -1)$ и $x \in (-1; 2)$, $f''(x)>0$ (например, $f''(0) = \frac{-8(-2)}{1} = 16 > 0$), значит на этих интервалах график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Для $x \in (2; +\infty)$, $f''(x)<0$ (например, $f''(3) = \frac{-8(1)}{4^4} < 0$), значит на этом интервале график функции выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем её координаты: $f(2) = \frac{(2-1)^2}{(2+1)^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: График функции вогнутый (выпуклый вниз) на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$, выпуклый (выпуклый вверх) на промежутке $(2; +\infty)$. Точка перегиба: $(2, \frac{1}{9})$.