Номер 3, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2) $f(x) = \frac{x^2+2x}{2x-6}$.

Задача заключается в проведении полного исследования функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{2x - 6}$ и построении ее графика.

1. Область определения функции

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль.
Найдем нули знаменателя:
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$f(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0}{2 \cdot 0 - 6} = \frac{0}{-6} = 0$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0; 0)$.
Пересечение с осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x) = 0$:
$\frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Оба значения принадлежат области определения функции.
Точки пересечения с осью Ox — $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 2(-x)}{2(-x) - 6} = \frac{x^2 - 2x}{-2x - 6} = \frac{x^2 - 2x}{-(2x + 6)}$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.
Ответ: Функция общего вида.

4. Асимптоты

Вертикальная асимптота:
Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва функции, то есть при $x=3$. Найдем односторонние пределы при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3}{2(3-0) - 6} = \frac{15}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 + 2x}{2x - 6} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3}{2(3+0) - 6} = \frac{15}{+0} = +\infty$
Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.
Наклонная асимптота:
Так как степень многочлена в числителе (2) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (1), у графика есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$.
Найдем коэффициенты $k$ и $b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x}{x(2x - 6)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x}{2x^2 - 6x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2/x}{2 - 6/x} = \frac{1}{2}$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 + 2x}{2x - 6} - \frac{1}{2}x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2(x^2 + 2x) - x(2x - 6)}{2(2x - 6)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 4x - 2x^2 + 6x}{4x - 12} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{10x}{4x - 12} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
Уравнение наклонной асимптоты: $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=3$. Наклонная асимптота: $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 + 2x}{2x - 6}\right)' = \frac{(2x+2)(2x-6) - (x^2+2x)(2)}{(2x-6)^2} = \frac{4x^2 - 12x + 4x - 12 - 2x^2 - 4x}{(2(x-3))^2} = \frac{2x^2 - 12x - 12}{4(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 6}{2(x-3)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Знак производной зависит только от числителя:
$x^2 - 6x - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 3 \pm \sqrt{15}$.
Критические точки: $x_1 = 3 - \sqrt{15} \approx -0.87$ и $x_2 = 3 + \sqrt{15} \approx 6.87$.
Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; 3-\sqrt{15})$, $(3-\sqrt{15}; 3)$, $(3; 3+\sqrt{15})$, $(3+\sqrt{15}; +\infty)$.
• На интервале $(-\infty; 3-\sqrt{15})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(3-\sqrt{15}; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3; 3+\sqrt{15})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3+\sqrt{15}; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x = 3 - \sqrt{15}$ является точкой локального максимума. $y_{max} = f(3 - \sqrt{15}) = \frac{(3 - \sqrt{15})^2 + 2(3 - \sqrt{15})}{2(3 - \sqrt{15}) - 6} = 4 - \sqrt{15} \approx 0.13$.
Точка $x = 3 + \sqrt{15}$ является точкой локального минимума. $y_{min} = f(3 + \sqrt{15}) = \frac{(3 + \sqrt{15})^2 + 2(3 + \sqrt{15})}{2(3 + \sqrt{15}) - 6} = 4 + \sqrt{15} \approx 7.87$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 3-\sqrt{15}] \cup [3+\sqrt{15}; +\infty)$. Функция убывает на $[3-\sqrt{15}; 3) \cup (3; 3+\sqrt{15}]$. Точка максимума: $(3 - \sqrt{15}; 4 - \sqrt{15})$. Точка минимума: $(3 + \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15})$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = \left(\frac{x^2 - 6x - 6}{2(x-3)^2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-6)(x-3)^2 - (x^2-6x-6) \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4} = \frac{2(x-3)^3 - 2(x-3)(x^2-6x-6)}{2(x-3)^4} = \frac{(x-3)^2 - (x^2-6x-6)}{(x-3)^3} = \frac{x^2-6x+9-x^2+6x+6}{(x-3)^3} = \frac{15}{(x-3)^3}$.
Вторая производная нигде не равна нулю, следовательно, точек перегиба у графика нет.
Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x-3)^3$:
• На интервале $(-\infty; 3)$: $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(3; +\infty)$: $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Ответ: Точек перегиба нет. График выпуклый вверх на $(-\infty; 3)$ и выпуклый вниз на $(3; +\infty)$.