Номер 4, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4.

(2) $f(x) = \frac{1-x^9}{1-x^3}$.

Для анализа данной функции $f(x) = \frac{1-x^9}{1-x^3}$ выполним следующие шаги: найдем область определения, упростим выражение и исследуем поведение функции в точке разрыва.

1. Нахождение области определения

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем эти значения.

Приравняем знаменатель к нулю:

$1 - x^3 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Следовательно, функция не определена в точке $x=1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1. В виде интервалов это записывается как $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Для упрощения дроби разложим числитель на множители. Выражение $1-x^9$ можно рассматривать как разность кубов, так как $x^9 = (x^3)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a=1$ и $b=x^3$. Получаем:

$1 - x^9 = 1^3 - (x^3)^3 = (1 - x^3)(1^2 + 1 \cdot x^3 + (x^3)^2) = (1 - x^3)(1 + x^3 + x^6)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в функцию:

$f(x) = \frac{(1 - x^3)(1 + x^3 + x^6)}{1 - x^3}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, то выражение $1 - x^3$ не равно нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на $(1-x^3)$:

$f(x) = 1 + x^3 + x^6$

Это выражение является упрощенной формой функции $f(x)$ для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: Для всех $x \neq 1$ функция задается формулой $f(x) = 1 + x^3 + x^6$.

3. Анализ точки разрыва

Мы выяснили, что в точке $x=1$ функция имеет разрыв. Чтобы определить тип этого разрыва, найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1.

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1-x^9}{1-x^3}$

Для вычисления предела удобнее использовать упрощенное выражение функции, так как оно совпадает с исходным во всех точках, кроме $x=1$:

$\lim_{x \to 1} (1 + x^3 + x^6) = 1 + 1^3 + 1^6 = 1 + 1 + 1 = 3$

Поскольку предел функции в точке $x=1$ существует и конечен (равен 3), а сама функция в этой точке не определена, то $x=1$ является точкой устранимого разрыва. График функции $f(x)$ совпадает с графиком полинома $y = 1 + x^3 + x^6$, за исключением одной "выколотой" точки с координатами $(1, 3)$.

Ответ: В точке $x=1$ функция имеет устранимый разрыв. Предел функции в этой точке равен 3.