Номер 11, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) Решите неравенство $\frac{f'(x)}{g'(x)} < 0$, если:

$f(x)=11x^3-11x^2+9$, $g(x)=4x^3+5x^2-17$

Для решения неравенства $\frac{f'(x)}{g'(x)} < 0$ необходимо сначала найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = 11x^3 - 11x^2 + 9$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (11x^3 - 11x^2 + 9)' = 11 \cdot 3x^{3-1} - 11 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 33x^2 - 22x$.

Далее найдем производную функции $g(x) = 4x^3 + 5x^2 - 17$.

Аналогично находим ее производную:

$g'(x) = (4x^3 + 5x^2 - 17)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 12x^2 + 10x$.

Теперь составим и решим неравенство. Подставляем найденные производные в исходное неравенство:

$\frac{33x^2 - 22x}{12x^2 + 10x} < 0$

Для решения этого рационального неравенства разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $33x^2 - 22x = 11x(3x - 2)$.

Знаменатель: $12x^2 + 10x = 2x(6x + 5)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{11x(3x - 2)}{2x(6x + 5)} < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$g'(x) \neq 0 \implies 12x^2 + 10x \neq 0 \implies 2x(6x + 5) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -\frac{5}{6}$.

При условии $x \neq 0$ мы можем сократить дробь на общий множитель $x$:

$\frac{11(3x - 2)}{2(6x + 5)} < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $(3x - 2)(6x + 5) < 0$, так как константа $\frac{11}{2}$ положительна и не влияет на знак.

Решим его методом интервалов. Найдем корни сомножителей:

$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$.

$6x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{6}$.

Корни $-\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y = (3x-2)(6x+5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства $(3x - 2)(6x + 5) < 0$ является интервал $x \in (-\frac{5}{6}, \frac{2}{3})$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \neq 0$. Точка $x=0$ попадает в найденный интервал $(-\frac{5}{6}, \frac{2}{3})$, поэтому ее нужно исключить из решения.

Таким образом, окончательное решение неравенства представляет собой объединение двух интервалов: $(-\frac{5}{6}, 0)$ и $(0, \frac{2}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{6}, 0) \cup (0, \frac{2}{3})$