Номер 29, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Часы идут правильно. Через 5 минут их часовая и минутная стрелки совпадут. Через какое минимальное время угол между часовой и минутной стрелками станет таким же, как и 10 минут назад?

Для решения задачи определим угловые скорости движения стрелок и их относительную скорость.

1. Угловые скорости стрелок.
Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$.
Минутная стрелка проходит $360^\circ$ за 60 минут. Ее угловая скорость:$ \omega_м = \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин} $
Часовая стрелка проходит $360^\circ$ за 12 часов (720 минут). Ее угловая скорость:$ \omega_ч = \frac{360^\circ}{12 \times 60 \text{ мин}} = \frac{360^\circ}{720 \text{ мин}} = 0.5^\circ/\text{мин} $
Относительная скорость, с которой минутная стрелка догоняет часовую, равна разности их скоростей:$ \omega_{отн} = \omega_м - \omega_ч = 6 - 0.5 = 5.5^\circ/\text{мин} $

2. Угол между стрелками в настоящий момент.
По условию, через 5 минут стрелки совпадут. Это означает, что за эти 5 минут минутная стрелка сократит текущий разрыв с часовой стрелкой до нуля. Текущий угол $ \alpha_{сейчас} $ между ними равен:$ \alpha_{сейчас} = \omega_{отн} \times 5 \text{ мин} = 5.5^\circ/\text{мин} \times 5 \text{ мин} = 27.5^\circ $
В настоящий момент минутная стрелка отстает от часовой на $27.5^\circ$.

3. Угол между стрелками 10 минут назад.
Чтобы найти угол, который был 10 минут назад ($ \alpha_{назад} $), нужно учесть, что за прошедшие 10 минут минутная стрелка приблизилась к часовой на угол $ \Delta\alpha $:$ \Delta\alpha = \omega_{отн} \times 10 \text{ мин} = 5.5^\circ/\text{мин} \times 10 \text{ мин} = 55^\circ $
Поскольку сейчас минутная стрелка отстает на $27.5^\circ$, то 10 минут назад она отставала на еще больший угол:$ \alpha_{назад} = \alpha_{сейчас} + \Delta\alpha = 27.5^\circ + 55^\circ = 82.5^\circ $

4. Расчет времени в будущем.
Нам нужно найти минимальное время $ t $, через которое угол между стрелками снова станет равен $82.5^\circ$. Процесс можно разделить на два этапа:
- Сначала минутная стрелка должна догнать часовую, чтобы угол между ними стал равен $0^\circ$. На это уйдет 5 минут (согласно условию). - Затем минутная стрелка начнет обгонять часовую, и угол между ними будет увеличиваться со скоростью $5.5^\circ/\text{мин}$. Нам нужно найти время $ t' $, за которое этот угол достигнет $82.5^\circ$.
$ t' = \frac{82.5^\circ}{\omega_{отн}} = \frac{82.5^\circ}{5.5^\circ/\text{мин}} = 15 \text{ мин} $
Общее время от настоящего момента равно сумме времени до совпадения и времени после совпадения до достижения нужного угла:$ t = 5 \text{ мин} + t' = 5 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 20 \text{ мин} $

Ответ: Через 20 минут.