Номер 1, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Определите, для каких из следующих функций существует обратная функция. Напишите формулу обратной функции:

а) $f(x)=3x-5$;

б) $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$;

в) $f(x)=x^2+2x$ при $x \ge -1$;

г) $f(x)=x^2+x, x \ge 0$.

Для того чтобы для функции существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы функция была биективной, то есть взаимно-однозначной. Для непрерывных функций на интервале это эквивалентно строгой монотонности (функция должна быть строго возрастающей или строго убывающей).

а) Функция $f(x) = 3x - 5$ является линейной. Ее область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\infty, +\infty)$. Так как угловой коэффициент $k=3 > 0$, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, для нее существует обратная функция.
Найдем формулу обратной функции. Пусть $y = 3x - 5$. Выразим $x$ через $y$:
$3x = y + 5$
$x = \frac{y+5}{3}$
Теперь заменим $x$ на $y$ (или $f^{-1}(x)$) и $y$ на $x$, чтобы получить стандартный вид обратной функции:
$y = \frac{x+5}{3}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$.

б) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ является дробно-линейной. Ее область определения $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Для проверки монотонности найдем производную:
$f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-3) - (2x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$.
Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) < 0$. Это означает, что функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения ($(-\infty, 3)$ и $(3, +\infty)$), и является взаимно-однозначной на всей области определения. Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = \frac{2x+1}{x-3}$. Выразим $x$ через $y$:
$y(x-3) = 2x+1$
$yx - 3y = 2x+1$
$yx - 2x = 3y+1$
$x(y-2) = 3y+1$
$x = \frac{3y+1}{y-2}$
Заменяя переменные, получаем:
$y = \frac{3x+1}{x-2}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}$.

в) Функция $f(x) = x^2+2x$ является квадратичной, ее график — парабола. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Функция задана на промежутке $x \ge -1$. Этот промежуток включает вершину и правую ветвь параболы. На этом промежутке функция $f(x)$ строго возрастает (производная $f'(x)=2x+2 > 0$ при $x > -1$). Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = x^2+2x$. Решим это уравнение относительно $x$:
$x^2+2x-y = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Можно решить его, выделив полный квадрат:
$(x^2+2x+1) - 1 - y = 0$
$(x+1)^2 = y+1$
$x+1 = \pm\sqrt{y+1}$
$x = -1 \pm\sqrt{y+1}$
Так как по условию $x \ge -1$, мы должны выбрать знак «плюс» перед корнем, поскольку $\sqrt{y+1} \ge 0$. Таким образом, $x = -1 + \sqrt{y+1}$.
Заменяя переменные, получаем:
$y = \sqrt{x+1}-1$
Область определения обратной функции — это область значений исходной: $E(f) = [f(-1), +\infty) = [-1, +\infty)$, что соответствует условию $x+1 \ge 0$.

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \sqrt{x+1}-1$.

г) Функция $f(x) = x^2+x$ является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Функция задана на промежутке $x \ge 0$. Поскольку этот промежуток лежит правее вершины параболы ($0 > -0.5$), функция на нем строго возрастает (производная $f'(x)=2x+1 > 0$ при $x \ge 0$). Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = x^2+x$. Решим это уравнение относительно $x$:
$x^2+x-y = 0$
Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-y)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4y}}{2}$
По условию $x \ge 0$. Поскольку область значений исходной функции $E(f) = [f(0), +\infty) = [0, +\infty)$, то $y \ge 0$. При $y \ge 0$ имеем $\sqrt{1+4y} \ge 1$. Тогда корень со знаком «минус», $\frac{-1 - \sqrt{1+4y}}{2}$, будет отрицательным. Корень со знаком «плюс», $\frac{-1 + \sqrt{1+4y}}{2}$, будет неотрицательным. Поэтому мы выбираем знак «плюс».
$x = \frac{-1 + \sqrt{1+4y}}{2}$
Заменяя переменные, получаем:
$y = \frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}$.