Номер 5, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2) Пусть $f(x)$ - функция, для которой существует обратная функция $f^{-1}(x)$. Что можно сказать о функции $f^{-1}(x)$, если:

а) функция $f(x)$ - нечетная;

б) $f(x)$ - возрастающая;

в) $f(x)$ - убывающая?

а) Пусть функция $f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ нечетной функции симметричны относительно нуля.
Пусть $y = f^{-1}(x)$. По определению обратной функции это эквивалентно тому, что $x = f(y)$.
Нам нужно определить четность функции $f^{-1}(x)$, то есть найти выражение для $f^{-1}(-x)$.
Пусть $z = f^{-1}(-x)$. Это означает, что $-x = f(z)$.
Мы имеем два равенства:
1) $x = f(y)$
2) $-x = f(z)$
Из второго равенства получаем $x = -f(z)$. Поскольку функция $f(x)$ нечетная, $-f(z) = f(-z)$.
Таким образом, $x = f(-z)$.
Теперь мы имеем $x = f(y)$ и $x = f(-z)$, следовательно, $f(y) = f(-z)$.
Так как для функции $f(x)$ существует обратная, она является взаимно-однозначной (инъективной). Из равенства значений функции следует равенство аргументов: $y = -z$.
Вспомним, что $y = f^{-1}(x)$ и $z = f^{-1}(-x)$. Подставив эти выражения в равенство $y = -z$, получим:
$f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x)$
Умножив обе части на $-1$, получим $f^{-1}(-x) = -f^{-1}(x)$.
Это равенство является определением нечетной функции. Следовательно, если функция $f(x)$ нечетная, то и обратная ей функция $f^{-1}(x)$ также является нечетной.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является нечетной.

б) Пусть функция $f(x)$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Чтобы определить характер монотонности обратной функции $f^{-1}(x)$, возьмем два произвольных значения $y_1$ и $y_2$ из ее области определения (которая совпадает с областью значений функции $f(x)$), такие что $y_1 < y_2$.
Пусть $x_1 = f^{-1}(y_1)$ и $x_2 = f^{-1}(y_2)$. По определению обратной функции, это означает, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Нам нужно сравнить $x_1$ и $x_2$. Допустим, что $x_1 \ge x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, а значит $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему начальному условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 > x_2$, то, поскольку $f(x)$ — возрастающая функция, должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, единственно возможным вариантом является $x_1 < x_2$.
Таким образом, мы показали, что из $y_1 < y_2$ следует $f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)$. Это означает, что функция $f^{-1}(x)$ является возрастающей.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является возрастающей.

в) Пусть функция $f(x)$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Действуем аналогично пункту б). Возьмем два произвольных значения $y_1$ и $y_2$ из области определения $f^{-1}(x)$, такие что $y_1 < y_2$.
Пусть $x_1 = f^{-1}(y_1)$ и $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Отсюда следует, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Нам нужно сравнить $x_1$ и $x_2$. Допустим, что $x_1 \le x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, а значит $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему начальному условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 < x_2$, то, поскольку $f(x)$ — убывающая функция, должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, единственно возможным вариантом является $x_1 > x_2$.
Таким образом, мы показали, что из $y_1 < y_2$ следует $f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)$. Это означает, что функция $f^{-1}(x)$ является убывающей.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является убывающей.